Question

Пишутся ли в предложение союзы слитно? За(тем) я побежал по тропинке,что(бы) догнать друга.

Answer 1

Да, они все пишутся слитно затем и чтобы

Answer 2

Да, пишутся слитно.
Слово "затем" является союзом, поэтому пишется слитно; если бы это был предлог с указательным местоимением, допустим, "за тем деревом", то писалось бы раздельно.
Союз чтобы пишется слитно, потому что частицу "бы", в данном случае пишущуюся слитно, нельзя опустить или поменять её местоположение в предложении. 

Answer 3

Да, в данном случае союзы "затем" и "чтобы" пишутся слитно, так как они образуют одно слово с предшествующим словом и являются наречными союзами. Правильно написанное предложение будет выглядеть так: "Затем я побежал по тропинке, чтобы догнать друга."