Question

Захотелось поиграть - это глагол? Если да, то какое время?

Answer 1

Здесь два глагола .
захоте лось - прошедшее время 
поиграть - неопределённая форма глагола - время не определяется .так как это неизменяемая фора глагола .
Имей в виду : если в глаголе есть суффикс Л - то это прошедшее время .

Answer 2

Да, "захотелось" является глаголом в форме прошедшего времени.