Question

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Монету подбросили 4 раза. Вероятность выпадения герба 0,5. Для СВ, равной количеству появлений герба, найти закон распределения во всех формах, вычислить МО, дисперсию, СКО.

Answer 1

Давайте рассмотрим случайную величину (СВ) \(X\), представляющую собой количество выпадений герба при четырех подбрасываниях монеты. Возможные значения этой случайной величины: 0, 1, 2, 3, 4.

Так как вероятность выпадения герба равна 0,5, мы можем использовать биномиальное распределение для нахождения закона распределения. Формула биномиального распределения:

\[P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

где: - \(n\) - количество подбрасываний монеты (в данном случае 4), - \(k\) - количество выпадений герба, - \(p\) - вероятность выпадения герба, - \(C_n^k\) - биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\).

Теперь давайте найдем закон распределения для каждого значения \(k\):

1. \(P(X=0) = C_4^0 \cdot 0.5^0 \cdot (1-0.5)^4\) 2. \(P(X=1) = C_4^1 \cdot 0.5^1 \cdot (1-0.5)^3\) 3. \(P(X=2) = C_4^2 \cdot 0.5^2 \cdot (1-0.5)^2\) 4. \(P(X=3) = C_4^3 \cdot 0.5^3 \cdot (1-0.5)^1\) 5. \(P(X=4) = C_4^4 \cdot 0.5^4 \cdot (1-0.5)^0\)

Теперь вычислим эти значения:

1. \(P(X=0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.0625 = 0.0625\) 2. \(P(X=1) = 4 \cdot 0.5 \cdot 0.125 = 0.25\) 3. \(P(X=2) = 6 \cdot 0.25 \cdot 0.25 = 0.375\) 4. \(P(X=3) = 4 \cdot 0.125 \cdot 0.5 = 0.25\) 5. \(P(X=4) = 1 \cdot 0.0625 \cdot 1 = 0.0625\)

Таким образом, закон распределения случайной величины \(X\) выглядит следующим образом:

\[ \begin{align*} P(X=0) & : 0.0625 \\ P(X=1) & : 0.25 \\ P(X=2) & : 0.375 \\ P(X=3) & : 0.25 \\ P(X=4) & : 0.0625 \\ \end{align*} \]

Теперь вычислим математическое ожидание (МО), дисперсию и стандартное отклонение (СКО) для данной случайной величины.

Математическое ожидание (МО):

\[\text{МО} = \sum_{k=0}^4 k \cdot P(X=k)\]

\[= 0 \cdot 0.0625 + 1 \cdot 0.25 + 2 \cdot 0.375 + 3 \cdot 0.25 + 4 \cdot 0.0625\]

\[= 0 + 0.25 + 0.75 + 0.75 + 0.25 = 2\]

Дисперсия:

\[\text{Дисперсия} = \sum_{k=0}^4 (k - \text{МО})^2 \cdot P(X=k)\]

\[= (0 - 2)^2 \cdot 0.0625 + (1 - 2)^2 \cdot 0.25 + (2 - 2)^2 \cdot 0.375 + (3 - 2)^2 \cdot 0.25 + (4 - 2)^2 \cdot 0.0625\]

\[= 4 \cdot 0.0625 + 1 \cdot 0.25 + 0 \cdot 0.375 + 1 \cdot 0.25 + 4 \cdot 0.0625 = 1.25\]

Стандартное отклонение (СКО):

\[\text{СКО} = \sqrt{\text{Дисперсия}} = \sqrt{1.25} \approx 1.118\]

Таким образом, закон распределения, математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение для случайной величины \(X\) найдены.