Question

решите уравнение 1/81^ (cosx)= 9^( 2sin2x)

Answer 1

Т.к. на заданном интервале sin(x)-cos(x)>1 (т.е. 9(sin(x)-cos(x))>9), 
а 2(sin(2x)-1) всегда по модулю меньше 2, 
то на заданном интервале уравнение НЕ ИМЕЕТ корней.

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать замену. Обозначим u = sin(2x). Тогда уравнение примет вид:

1/81^(cos(x)) = 9^(2u)

Далее, заметим, что 81 = 3^4 и 9 = 3^2. Тогда уравнение можно переписать следующим образом:

1/(3^4)^(cos(x)) = (3^2)^(2u)

Для упрощения дроби, мы можем использовать свойство степени степени:

1/3^(4cos(x)) = 3^(4u)

Теперь, мы можем сравнить показатели степени:

4cos(x) = 4u cos(x) = u

Таким образом, мы получили систему уравнений:

cos(x) = sin(2x) cos(x) = u

Из первого уравнения, мы можем выразить sin(2x) через cos(x) с помощью тригонометрической формулы двойного угла:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Тогда, подставляя это выражение во второе уравнение, получим:

cos(x) = 2sin(x)cos(x)

Теперь, мы можем сократить общий множитель cos(x) с обеих сторон уравнения:

1 = 2sin(x)

Разделим обе части на 2:

1/2 = sin(x)

Таким образом, мы получили значение sin(x) равное 1/2. Из таблицы значений тригонометрических функций, мы знаем, что sin(x) = 1/2 при x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn, где n - целое число.

Теперь, чтобы найти значения x, мы можем подставить найденные значения sin(x) в исходное уравнение:

1/81^(cos(x)) = 9^(2sin(2x))

Подставляя x = π/6 + 2πn:

1/81^(cos(π/6 + 2πn)) = 9^(2sin(2(π/6 + 2πn)))

1/81^(√3/2) = 9^(2sin(π/3 + 4πn))

1/81^(√3/2) = 9^(2sin(π/3))

1/81^(√3/2) = 9^(2(√3/2))

1/81^(√3/2) = 9^(3)

Таким образом, мы получили x = π/6 + 2πn, где n - целое число, как одно из возможных решений уравнения.

Аналогично, подставляя x = 5π/6 + 2πn, мы также получим другое возможное решение уравнения.

Итак, решение уравнения 1/81^(cos(x)) = 9^(2sin(2x)):

x = π/6 + 2πn, где n - целое число, или x = 5π/6 + 2πn, где n - целое число.