Question

1.Докажите, что если а+b=1, то а (в кубе) + b (в кубе) + 3ab= a+b2.Однажды Дядя Фёдор , кот Матроскин и Шарик пошли на рыбалку.Улов оказался большим. Дядя Фёдор поймал половину от общего улова без того,что поймали вместе кот Матроскин и Шарик . Кот Матроскин поймал треть от общего улова и того, что поймали вместе Дядя Фёдор и Шарик .Улов Шарика отличается от улова Матроскина на 1 кг.Сколько весил общий улов?3.Доказать, что число n (в кубе)+17n делится на 6 при любом натуральном n4. В треугольнике АВС проведены биссектрисы AD и ВЕ.Оказалось, что угол ADC = углу AEB=углу BAC. Найти углы трекгольника АВС.5.Решить графически уравнение /x/ = x-3.6.В каждой клетке доски размером 16х30 сидит по жуку. Могут ли жуки перелететь на доску размером 15х32, в каждую клетку по одному жуку, чтобы жуки, бывшие соседями на доске 16х30 , оказались соседями и на новой доске? (Соседи - жуки, сидящие в клетках с общей стороной.)

Answer 1

Ну, с первым заданием. Я делал так:
а^3 + b^3+3ab=a+b. По формулам сокращенного умножения: a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2). Подставим в наше уравнение, и получим:
(a+b)(a^2-ab+b^2)+3ab=a+b. Допустим, что равенство (а+b)=1 верно, тогда
1*(a^2-ab+b^2)+3ab=a+b. Раскроем скобки и получим:
a^2+2ab+b^2=a+b. Пользуясь формулами сокращенного умножения левую часть равенства представим в виде: (a+b)^2=a+b или (a+b)(a+b)=a+b. Разделив обе части равенства на (a+b) получим: a+b=1, т.е. утверждение верно.

Answer 2

1. Доказательство тождества:

Дано: \(a + b = 1\)

Требуется доказать: \(a^3 + b^3 + 3ab = a + b^2\)

Доказательство:

Начнем с левой части уравнения:

\[a^3 + b^3 + 3ab\]

Факторизуем сумму кубов:

\[(a + b)(a^2 - ab + b^2) + 3ab\]

Учитывая, что \(a + b = 1\), заменим:

\[1(a^2 - ab + b^2) + 3ab\]

Раскроем скобки:

\[a^2 - ab + b^2 + 3ab\]

Сгруппируем похожие члены:

\[a^2 + 2ab + b^2\]

Факторизуем квадрат:

\[(a + b)^2\]

Учитывая, что \(a + b = 1\), заменяем:

\[1^2 = 1\]

Таким образом, левая часть равна 1.

Теперь рассмотрим правую часть уравнения:

\[a + b^2\]

Учитывая, что \(a + b = 1\), заменим:

\[1 - b + b^2\]

Теперь сравним обе части уравнения:

Левая часть: \(a^3 + b^3 + 3ab = (a + b)^3 = 1^3 = 1\)

Правая часть: \(a + b^2 = 1 - b + b^2\)

Таким образом, левая и правая части уравнения равны, что завершает доказательство.

---

2. Решение задачи о рыбалке:

Обозначим общий улов за \(U\).

Дядя Фёдор поймал половину от общего улова: \(0.5U\).

Кот Матроскин поймал треть от общего улова: \(0.33U\).

То, что поймали вместе Дядя Фёдор и Шарик, также составляет треть от общего улова: \(0.33U\).

Улов Шарика отличается от улова Матроскина на 1 кг, поэтому улов Шарика равен \(0.33U + 1\).

Таким образом, уравнение на общий улов \(U\) будет следующим:

\[0.5U + 0.33U + 0.33U + (0.33U + 1) = U\]

Решая это уравнение, найдем значение \(U\).

---

3. Доказательство делимости:

Дано: \(n^3 + 17n\) делится на 6 при любом натуральном \(n\).

Требуется доказать: \(n^3 + 17n\) делится на 6 при любом натуральном \(n\).

Доказательство:

Рассмотрим выражение \((n^3 + 17n)\).

Так как \(n\) может быть четным или нечетным, рассмотрим два случая:

1. Если \(n\) четно, то \(n = 2k\) для некоторого целого \(k\).

Подставим это значение в выражение:

\[(2k)^3 + 17(2k) = 8k^3 + 34k\]

Обратим внимание, что \(8k^3\) делится на 6 (так как делится на 2 и на 3), и \(34k\) делится на 6 (так как делится на 2 и на 3). Следовательно, их сумма также делится на 6.

2. Если \(n\) нечетно, то \(n = 2k + 1\) для некоторого целого \(k\).

Подставим это значение в выражение:

\[(2k + 1)^3 + 17(2k + 1) = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 18k + 18\]

Снова обратим внимание, что все члены, кроме последнего (\(18\)), содержат множитель 6. Таким образом, их сумма также делится на 6.

Таким образом, в обоих случаях \((n^3 + 17n)\) делится на 6 при любом натуральном \(n\).

---

*Примечание: Прошу прощения за неудобочитаемость текста, так как платформа может не поддерживать математические символы. Пожалуйста, перепишите формулы в тексте с учетом их правильного отображения.*

Answer 3

Давайте рассмотрим каждый из ваших вопросов по порядку.

1. Докажите, что если \(a+b=1\), то \(a^3 + b^3 + 3ab = a + b\).

Дано: \(a + b = 1\)

Используем формулу суммы кубов: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)

Теперь подставим данное условие \(a + b = 1\):

\[a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) = 1(a^2 - ab + b^2)\]

Умножим обе стороны на 3:

\[3(a^3 + b^3) = 3(a^2 - ab + b^2)\]

Теперь добавим \(3ab\) к обеим сторонам:

\[3(a^3 + b^3 + 3ab) = 3(a^2 - ab + b^2 + ab)\]

\[3(a^3 + b^3 + 3ab) = 3(a^2 + b^2)\]

Сократим на 3:

\[a^3 + b^3 + 3ab = a^2 + b^2\]

Теперь используем условие \(a + b = 1\):

\[a^3 + b^3 + 3ab = (a + b)^2\]

Подставим \(a + b = 1\):

\[a^3 + b^3 + 3ab = 1^2\]

Таким образом, мы доказали, что если \(a + b = 1\), то \(a^3 + b^3 + 3ab = a + b\).

2. Задача про рыбалку.

Обозначим вес улова Дяди Фёдора за \(Ф\), улова Матроскина за \(М\), и улова Шарика за \(Ш\).

Условие гласит, что \(Ф = \frac{1}{2}(М + Ш)\) и \(М = \frac{1}{3}(Ф + Ш)\), а также \(Ш - М = 1\).

Подставим второе уравнение в первое:

\[Ф = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}(Ф + Ш) + Ш\right)\]

Умножим обе стороны на 6, чтобы избавиться от дробей:

\[6Ф = 3(Ф + Ш) + 6Ш\]

Раскроем скобки:

\[6Ф = 3Ф + 3Ш + 6Ш\]

Переносим все термины с \(Ф\) на одну сторону:

\[6Ф - 3Ф = 9Ш\]

\[3Ф = 9Ш\]

Теперь используем условие \(Ш - М = 1\), заменяя \(М\) на \(\frac{1}{3}(Ф + Ш)\):

\[Ш - \frac{1}{3}(Ф + Ш) = 1\]

Умножаем обе стороны на 3:

\[3Ш - (Ф + Ш) = 3\]

Раскрываем скобки:

\[2Ш - Ф = 3\]

Теперь у нас есть система двух уравнений:

\[\begin{cases} 3Ф = 9Ш \\ 2Ш - Ф = 3 \end{cases}\]

Решая эту систему, найдем \(Ш\):

\[Ш = 3, Ф = 9\]

Таким образом, общий улов равен \(Ф + М + Ш = 9 + \frac{1}{3}(9 + 3) + 3 = 9 + 4 + 3 = 16\).

3. Доказательство \(n^3 + 17n\) делится на 6.

Проверим это утверждение для всех четырех возможных случаев \(n\) (когда \(n\) четное или нечетное):

- Если \(n\) четное, то \(n = 2k\) для некоторого целого числа \(k\). Подставим это в выражение:

\[n^3 + 17n = (2k)^3 + 17(2k) = 8k^3 + 34k = 2(4k^3 + 17k)\]

Таким образом, \(n^3 + 17n\) делится на 2.

- Если \(n\) нечетное, то \(n = 2k + 1\) для некоторого целого числа \(k\). Подставим это в выражение:

\[n^3 + 17n = (2k + 1)^3 + 17(2k + 1) = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 + 34k + 17 = 2(4k^3 + 6k^2 + 20k + 9)\]

Таким образом, \(n^3 + 17n\) делится на 2.

В обоих случаях \(n^3 + 17n\) делится на 2, и следовательно, оно делится на 6.

4. Углы треугольника \(ABC\).

У нас есть треугольник \(ABC\) и биссектрисы \(AD\) и \(BE\), причем угол \(ADC = \angle AEB = \angle BAC\).

Так как \(AD\) и \(BE\) биссектрисы, то у нас есть следующее соотношение:

\[\frac{AB}{BD} = \frac{AC}{CD} \quad \text{и} \quad \frac{AB}{AE} = \frac{BC}{CE}\]

Из условия \(ADC = \angle AEB = \angle BAC\), следует, что треугольники \(ADC\) и \(AEB\) подобны по сторонам и углам.

Из соотношения подобия треугольников мы можем написать:

\[\