Question

Доказать равенство: 1+2+3+...+98+99+100+99+98+...+3+2+1=100²

Answer 1

Задача по сути очень простая ,если решать ее т.н. методом Гаусса 
1+99=100+
2+98=100+
3+97=100....и так 49 раз,того у нас уже 49*100
+50......+100+
99+1=100+
98+2=100 ...-опять таки 100 мы получили 50 раз 
и того у нас осталить две 50 ,т.е. в сумме 100
а всего у нас 49*100+49*100+50+50+100=100(49+49+0,5+0,5+1)=100*100

Answer 2

Для доказательства равенства суммы от 1 до 100 и суммы от 100 до 1, мы можем воспользоваться математической индукцией.

Математическая индукция - это метод математического доказательства, который состоит из двух шагов: базового шага и шага индукции. Базовый шаг заключается в проверке утверждения для некоторого начального значения (обычно это самое маленькое значение), а шаг индукции заключается в доказательстве, что если утверждение верно для некоторого значения, то оно будет верно и для следующего значения.

Для начала, давайте рассмотрим базовый шаг. Если мы вычислим сумму от 1 до 100, мы получим:

1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 = 5050

Теперь рассмотрим шаг индукции. Предположим, что равенство выполняется для некоторого значения k, то есть:

1 + 2 + 3 + ... + k + (k-1) + (k-2) + ... + 3 + 2 + 1 = k²

Мы хотим доказать, что равенство выполняется и для значения k+1. Для этого мы можем добавить (k+1) к обеим сторонам равенства:

1 + 2 + 3 + ... + k + (k-1) + (k-2) + ... + 3 + 2 + 1 + (k+1) = k² + (k+1)

Теперь давайте преобразуем обе стороны этого равенства. Мы можем разбить сумму на две части: сумму от 1 до k+1 и сумму от (k+1) до 1.

Сумма от 1 до k+1 выглядит так:

1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1)

Это можно записать как сумму от 1 до k, плюс (k+1):

1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = (1 + 2 + 3 + ... + k) + (k+1)

Сумма от (k+1) до 1, как мы заметили, равна сумме от 1 до k. Мы можем записать это так:

(k+1) + k + (k-1) + ... + 3 + 2 + 1 = 1 + 2 + 3 + ... + k

Теперь мы можем заменить сумму от (k+1) до 1 в нашем исходном равенстве:

1 + 2 + 3 + ... + k + (k-1) + (k-2) + ... + 3 + 2 + 1 + (k+1) = (1 + 2 + 3 + ... + k) + (k+1) = (k+1) + 1 + 2 + 3 + ... + k

Таким образом, мы получаем:

1 + 2 + 3 + ... + k + (k-1) + (k-2) + ... + 3 + 2 + 1 + (k+1) = (k+1) + 1 + 2 + 3 + ... + k

Используя предположение индукции, мы знаем, что:

1 + 2 + 3 + ... + k = k²

Подставляя это в наше равенство, мы получаем:

(k+1) + 1 + 2 + 3 + ... + k = (k+1) + k²

Теперь мы можем преобразовать правую сторону равенства:

(k+1) + k² = k² + 2k + 1 = (k+1)²

Таким образом, мы доказали, что если равенство выполняется для некоторого значения k, то оно будет выполняться и для значения k+1. Мы также знаем, что базовый шаг выполняется для k=1, так как сумма от 1 до 1 равна 1, а 1² также равно 1.

Из этого следует, что равенство выполняется для всех значений от 1 до 100. То есть:

1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1 = 100² = 10000