Question

Вероятность, что аудитор при проверке документации фирмы найдет ошибку равна 0.3. Аудитор проверяет 11 фирм. Найти вероятность того, что при проверке аудитор найдет ошибку: а) ровно в 9 фирмах; б) менее чем в 5 фирмах: в) не более чем в 4 фирмах;

Answer 1

Ответ в так как 0,3 составляет тридцать процентов и поэтому не более чем в 4 фирмах )

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся биномиальным распределением, так как мы имеем дело с последовательностью независимых испытаний (проверка каждой фирмы) с фиксированной вероятностью успеха (нахождение ошибки).

Формула для вероятности в биномиальном распределении:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

Где: - \( n \) - количество испытаний (в данном случае, количество фирм - 11). - \( k \) - количество успехов (в данном случае, количество фирм, в которых будет найдена ошибка). - \( p \) - вероятность успеха в одном испытании (вероятность нахождения ошибки в фирме).

У нас задана вероятность нахождения ошибки \( p = 0.3 \), количество фирм \( n = 11 \).

а) Вероятность того, что аудитор найдет ошибку ровно в 9 фирмах: \[ P(X = 9) = \binom{11}{9} \cdot 0.3^9 \cdot (1 - 0.3)^{11 - 9} \]

Вычислим это значение:

\[ P(X = 9) = \binom{11}{9} \cdot 0.3^9 \cdot 0.7^2 \]

\[ P(X = 9) = 55 \cdot 0.00019683 \cdot 0.49 \approx 0.0059 \]

б) Вероятность того, что аудитор найдет ошибку менее чем в 5 фирмах:

\[ P(X < 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) \]

\[ P(X < 5) = \binom{11}{0} \cdot 0.3^0 \cdot 0.7^{11} + \binom{11}{1} \cdot 0.3^1 \cdot 0.7^{10} + \binom{11}{2} \cdot 0.3^2 \cdot 0.7^{9} + \binom{11}{3} \cdot 0.3^3 \cdot 0.7^{8} + \binom{11}{4} \cdot 0.3^4 \cdot 0.7^{7}\]

\[ P(X < 5) ≈ 0.00078363 + 0.0068396 + 0.0310808 + 0.097487 + 0.213791 ≈ 0.349 \]

в) Вероятность того, что аудитор найдет ошибку не более чем в 4 фирмах:

Это уже включает в себя результаты для \( P(X < 5) \), поскольку "не более чем в 4 фирмах" означает 4 или менее фирмы.

\[ P(X ≤ 4) = P(X < 5) ≈ 0.349 \]

Таким образом, вероятности: - а) ровно в 9 фирмах: около 0.0059 или около 0.59%. - б) менее чем в 5 фирмах: около 0.349 или около 34.9%. - в) не более чем в 4 фирмах: около 0.349 или около 34.9%.