Question

Найти вероятность того, что событие – переключение передач – наступит 80 раз на 300-километровой трассе, если вероятность переключения передачи на каждом километре этой трассы равна 0,25.

Answer 1

Для решения данной задачи используем биномиальное распределение, так как у нас есть серия независимых испытаний (переключение передач на каждом километре), и мы хотим найти вероятность определенного числа успехов (переключений передач) в этой серии.

Вероятность успеха на одном испытании (переключение передачи на километре) обозначим \(p = 0.25\), а вероятность неудачи \(q = 1 - p = 0.75\).

Число испытаний \(n\) равно общему числу километров на трассе, то есть \(n = 300\), а число успехов \(k\) — количество переключений передач, равно \(k = 80\).

Формула биномиального распределения выглядит следующим образом:

\[ P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где \(C_n^k\) — число сочетаний из \(n\) по \(k\), вычисляется как \(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) (факториал).

В данном случае:

\[ P(X = 80) = C_{300}^{80} \cdot (0.25)^{80} \cdot (0.75)^{220} \]

Для более точного ответа, нужно подставить значения и вычислить:

\[ P(X = 80) = \frac{300!}{80!(300-80)!} \cdot (0.25)^{80} \cdot (0.75)^{220} \]

Такие вычисления могут быть сложны вручную, но существуют вычислительные инструменты, такие как калькуляторы или программы для статистического анализа, которые могут помочь в этом процессе.