Question

Составить математическую модель следующей задачи. Предположим, что для производства продукции вида А и В можно использовать материал трех сортов. При этом наизготовление единицы изделия вида А расходуется а1 кг первого сорта, а2 кг второго сорта и а3 кгтретьего сорта. На изготовление продукции вида В расходуется b1 кг первого сорта, b2 кг второгосорта, b3 кг третьего сорта. На складе фабрики имеется всего материала первого сорта с1 кг,второго сорта с2 кг, третьего сорта с3 кг. От реализации единицы готовой продукции вида Афабрика имеет прибыль вида α руб., а от реализации единицы готовой продукции вида В фабрикаимеет прибыль вида β руб. Определить максимальную прибыль от реализации всей продукциивидов А и В.а1= 19, а2= 16, а3= 19, b1= 26, b2= 17, b3= 8, c1= 868, c2= 638, c3= 853, α=5, β=4.​

Answer 1

Для решения данной задачи линейного программирования (ЛП) давайте сначала сформулируем целевую функцию и ограничения задачи.

Обозначим: - \(x\) - количество произведенных единиц продукции вида A, - \(y\) - количество произведенных единиц продукции вида B.

Целевая функция (максимизация прибыли) будет выглядеть следующим образом:

\[Z = \alpha \cdot x + \beta \cdot y\]

где \(\alpha\) - прибыль от единицы продукции вида A, а \(\beta\) - прибыль от единицы продукции вида B.

Теперь сформулируем ограничения:

1. Расход материала первого сорта не должен превышать имеющееся количество:

\[a1 \cdot x + b1 \cdot y \leq c1\]

2. Расход материала второго сорта не должен превышать имеющееся количество:

\[a2 \cdot x + b2 \cdot y \leq c2\]

3. Расход материала третьего сорта не должен превышать имеющееся количество:

\[a3 \cdot x + b3 \cdot y \leq c3\]

4. Количество произведенных единиц продукции не может быть отрицательным:

\[x \geq 0, \quad y \geq 0\]

Теперь, подставим данные из условия:

\[Z = 5x + 4y\]

при ограничениях:

\[19x + 26y \leq 868\]

\[16x + 17y \leq 638\]

\[19x + 8y \leq 853\]

\[x \geq 0, \quad y \geq 0\]

Таким образом, мы получили задачу ЛП. Для её решения можно использовать различные методы, такие как симплекс-метод или метод градиентного спуска.