Question

Векторная алгебра - В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Выразить вектор AD через векторы AB = a и AC = b.

Answer 1

Нужно достроить до параллелограмма, мысленно перенести вектор АB на противоположную сторону. Получается 2AD=AC+AB т. е. AD= (AC+AB)/2

Answer 2

Для того чтобы выразить вектор AD через векторы AB (a) и AC (b), мы можем воспользоваться свойствами биссектрисы в треугольнике ABC. Биссектриса AD делит угол BAC пополам и пересекает сторону BC в точке D. Давайте найдем вектор AD.

Для начала, определим вектор AB и вектор AC:

AB = a AC = b

Теперь мы знаем, что биссектриса AD делит угол BAC пополам. Это означает, что вектор AD будет направлен по серединному углу между векторами AB и AC. Мы можем найти такой вектор, используя следующий метод:

1. Найдем угол между векторами AB и AC. Для этого воспользуемся скалярным произведением и свойством cos(угла между векторами):

cos(угол BAC) = (AB * AC) / (|AB| * |AC|)

2. Найдем угол между векторами AB и AD. Поскольку вектор AD направлен по серединному углу между AB и AC, этот угол будет половиной угла BAC:

угол BAD = (1/2) * угол BAC

3. Теперь, имея угол BAD и длину вектора AD (которую мы хотим найти), мы можем использовать свойства косинуса для нахождения вектора AD:

AD = |AD| * (cos(угол BAD) * AB / |AB| + sin(угол BAD) * n)

где n - единичный вектор, перпендикулярный плоскости ABC и направленный в сторону, куда указывает биссектриса.

Теперь давайте рассмотрим формулу, шаг за шагом:

1. Найдем угол BAC:

cos(угол BAC) = (a * b) / (|a| * |b|)

2. Найдем угол BAD:

угол BAD = (1/2) * угол BAC

3. Теперь, используя свойства косинуса, найдем вектор AD:

AD = |AD| * (cos(угол BAD) * AB / |AB| + sin(угол BAD) * n)

Теперь у нас есть выражение для вектора AD через векторы AB и AC, используя угловые отношения в треугольнике ABC.