Question

даны координаты точек A(2;5;1), B (2;5;-2), C (1;2;-1), D (3;-3;6). Найти угол между прямой AD и плоскостью ABC

Answer 1

Во вложении:

__________________

Answer 2

Для нахождения угла между прямой и плоскостью, мы можем использовать следующую формулу:

$\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}}}{{\|\mathbf{n}\| \cdot \|\mathbf{v}\|}}$

где:

• $\theta$ - угол между прямой и плоскостью,
• $\mathbf{n}$ - нормальный вектор к плоскости,
• $\mathbf{v}$ - направляющий вектор прямой.

Для начала, найдем направляющий вектор прямой AD. Это можно сделать, вычтя координаты точки D из координат точки A:

$\mathbf{v} = \overrightarrow{AD} = \langle 3-2, (-3)-5, 6-1 \rangle = \langle 1, -8, 5 \rangle$

Теперь найдем нормальный вектор к плоскости ABC. Для этого можно взять векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости ABC. Допустим, $\mathbf{u}$ - вектор AB, а $\mathbf{w}$ - вектор AC. Тогда нормальный вектор $\mathbf{n}$ будет равен $\mathbf{u} \times \mathbf{w}$.

$\mathbf{u} = \overrightarrow{AB} = \langle 0, 0, (-2)-1 \rangle = \langle 0, 0, -3 \rangle$ $\mathbf{w} = \overrightarrow{AC} = \langle 1-2, 2-5, (-1)-1 \rangle = \langle -1, -3, -2 \rangle$

Теперь найдем векторное произведение:

$\mathbf{n} = \mathbf{u} \times \mathbf{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & -3 \\ -1 & -3 & -2 \end{vmatrix}$

Вычислим его:

$\mathbf{n} = \langle (-3)(-2) - (0)(-3), -(0-(-1)(-2)), 0-0 \rangle = \langle 6, 2, 0 \rangle$

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения угла:

$\cos(\theta) = \frac{{\langle 1, -8, 5 \rangle \cdot \langle 6, 2, 0 \rangle}}{{\|\langle 1, -8, 5 \rangle\| \cdot \|\langle 6, 2, 0 \rangle\|}}$

Вычислим числитель и знаменатель:

$\mathbf{v} \cdot \mathbf{n} = (1)(6) + (-8)(2) + (5)(0) = 6 - 16 + 0 = -10$

$\|\mathbf{v}\| = \sqrt{1^2 + (-8)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 64 + 25} = \sqrt{90}$

$\|\mathbf{n}\| = \sqrt{6^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}$

Подставим значения в формулу:

$\cos(\theta) = \frac{{-10}}{{\sqrt{90} \cdot \sqrt{40}}}$

$\cos(\theta) = \frac{{-10}}{{\sqrt{9 \cdot 10} \cdot \sqrt{4 \cdot 10}}}$

$\cos(\theta) = \frac{{-10}}{{3 \cdot 2 \cdot \sqrt{10}}}$