Question

Lim(10-х-6*(sqrt(1-х)))/(2+(cbrt(х))), х стремится к минус бесконечности

Answer 1

Да, равно -бесконечность.

Answer 2

Для нахождения предела данного выражения, когда х стремится к минус бесконечности, мы можем применить правило Лопиталя.

Правило Лопиталя позволяет найти предел отношения двух функций f(x)/g(x) в некоторых случаях, когда обе функции стремятся к бесконечности или к нулю. Формально, если пределы f(x) и g(x) при x стремится к некоторому числу или бесконечности являются неопределенностью вида "бесконечность/бесконечность" или "ноль/ноль", то предел отношения f(x)/g(x) равен пределу отношения производных этих функций:

lim(x -> a) [f(x) / g(x)] = lim(x -> a) [f'(x) / g'(x)], где f'(x) и g'(x) - производные f(x) и g(x) соответственно.

Давайте применим это правило к данному выражению:

f(x) = 10 - x - 6 * sqrt(1 - x) g(x) = 2 + cbrt(x)

Первые производные:

f'(x) = -1 - 6 * (1/2) * (1 - x)^(-1/2) * (-1) = -1 + 3 * (1 - x)^(-1/2) g'(x) = 1/(3 * cbrt(x)^2)

Теперь вычислим предел отношения производных, когда x стремится к минус бесконечности:

lim(x -> -∞) [f'(x) / g'(x)] = lim(x -> -∞) [(-1 + 3 * (1 - x)^(-1/2)) / (1/(3 * cbrt(x)^2))]

Подставим минус бесконечность вместо x:

lim(x -> -∞) [(-1 + 3 * (1 - x)^(-1/2)) / (1/(3 * cbrt(x)^2))] = lim(x -> -∞) [(-1 + 3 * (1 - (-∞))^(-1/2)) / (1/(3 * cbrt((-∞))^2))] = lim(x -> -∞) [(-1 + 3 * (1 + ∞))^(-1/2)) / (1/(3 * (-∞)^2))] = lim(x -> -∞) [(-1 + ∞)^(-1/2)) / (1/(-∞^2))] = lim(x -> -∞) [(∞)^(-1/2)) / (1/∞)] = 0

Таким образом, предел данного выражения при х стремится к минус бесконечности равен 0.