Question

Вертикальная балка, длиной l с заделанным нижним и свободным верхним концами сжимается продольной силой N. Определить предельный радиус r круглого сечения балки, изготовленной из стали Ст5, при котором балка не теряет устойчивость. Исходные данные к заданию 5 N, кН -160 l, м -2,8

Answer 1

Устойчивость при центральном сжатии

Расчет на устойчивость производится согласно СП 16.13330 п. 7.1.3 по формуле   $\frac{N}{φARyky}$

где N — нагрузка на сжатие/растяжение;

A — площадь поперечного сечения профиля брутто, т. е. без учета ослабления его отверстиями;

Ry — расчетное сопротивление стали;

ky — коэффициент условий работы (см. Таблицу 1 СП 16.13330);

φ — коэффициент устойчивости при центральном сжатии.

Из этой формулы определяем расчётное сечение балки.

$A=\frac{N}{φRyky}$

Для  стали Ст5  по ГОСТ 380-94 sв  = 500 - 640 МПа.

- предел кратковременной прочности (это временное сопротивление).

Возможные отклонения прочностных и других характеристик материалов в неблагоприятную сторону от их нормальных значений учитывается коэффициентом кн надежности по материалу.

Для проката, не использующего статистическую процедуру контроля его свойств, с  пределом текучести свыше 380 Н/мм2 и для горячедеформированных труб  кн = 1,100.

Учитываем  коэффициент надежности по устойчивости системы в целом ку = 1,3.

Тогда Ry = s/(kн*ку) = 500/(1,1*1,3) ≈ 350 МПа.

Значения коэффициента φ приведены в приложении Д СП 16.13330.

Ориентировочно принимаем значение коэффициента φ = 0,5.

Находим A = 160*10^3/(0.5*350*10^6) = 0,000914286 m^2  или

9,142857143 cm^2 .

Радиус r круглого сечения балки равен

r = √(S/π) = √(9,1428/3,1416) ≈ 1,7 см.

Но заданная схема балки требует проверки на предельную гибкость стержня.

λ — гибкость стержня, вычисляемая по формуле:

 λ = lef/i,

где lef — расчетная длина стержня;

i — радиус инерции сечения.

Из этой формулы находим i =  lef/λ.

Значение λ принимаем по таблице максимальных значений.

Ближайшее к нашим условиям λ = 150.

Находим lef = к*l = 2*2,8 = 5,6 м.

Отсюда i = 5,6/150 = 0,0373 м или 3,73 см.

Так как критическим фактором является предельная гибкость, то и принимаем это значение.

Находим радиус r = 2i = 2*3,73 = 7,46  см.

Answer 2

Для определения предельного радиуса круглого сечения балки, при котором она не теряет устойчивость, нужно рассчитать критическую нагрузку, которая вызывает потерю устойчивости балки. Для этого воспользуемся формулой Эйлера для изгибаемых стержней:

$P_{\text{кр}} = \dfrac{\pi^2 \cdot E \cdot I}{(K \cdot l)^2}$

где: $P_{\text{кр}}$ - критическая нагрузка, $E$ - модуль упругости материала балки (для стали Ст5 примем $E = 210$ ГПа или $210 \times 10^9$ Н/м²), $I$ - момент инерции поперечного сечения балки, $K$ - коэффициент, зависящий от условий закрепления балки (для заделанного нижнего и свободного верхнего концов $K = \sqrt{2}$), $l$ - длина балки.

Для круглого сечения момент инерции $I$ выражается как:

$I = \dfrac{\pi \cdot r^4}{4}$

где: $r$ - радиус круглого сечения.

Теперь, учитывая исходные данные:

$N = 160$ кН = $160 \times 10^3$ Н, $l = 2.8$ м = $2.8$ метра, $E = 210 \times 10^9$ Н/м², $K = \sqrt{2}$.

Мы можем найти предельный радиус $r$, при котором балка не теряет устойчивости:

$P_{\text{кр}} = \dfrac{\pi^2 \cdot 210 \times 10^9 \times (\pi \cdot r^4 / 4)}{( \sqrt{2} \times 2.8)^2}$

$P_{\text{кр}} = \dfrac{225 \pi^3 \times 10^9 \times r^4}{98}$

Теперь подставим $N = 160 \times 10^3$ Н:

$160 \times 10^3 = \dfrac{225 \pi^3 \times 10^9 \times r^4}{98}$

$r^4 = \dfrac{98 \times 160 \times 10^3}{225 \pi^3}$

$r = \left( \dfrac{98 \times 160 \times 10^3}{225 \pi^3} \right)^{1/4}$

$r \approx 0.048 \text{ метра}$

Таким образом, предельный радиус $r$ круглого сечения балки составляет около 0.048 метра.