Question

В трехмерном пространстве 9 точек расположены так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Каждая точка соединена отрезками ровно с четырьмя другими. Докажите, что найдутся три отрезка, образующие треугольник

Answer 1

Ответ:

возьми линейку и просто прочетри их

Answer 2

Давайте докажем это утверждение методом от противного. Предположим, что нет ни одного треугольника в этой конфигурации точек и отрезков. Это означает, что для любых трех точек A, B и C, соединенных отрезками, одна из следующих ситуаций должна быть истинной:

1. Точки A, B и C лежат на одной прямой, т.е., отрезки AB, BC и AC являются частями одной прямой.

2. Точки A, B и C соединены отрезками в таком порядке, что они образуют замкнутую фигуру, но не треугольник, например, квадрат или пятиугольник.

Если сначала рассмотрим первый случай, то это означает, что для любой точки D, не лежащей на этой прямой, отрезок AD не может соединяться с двумя другими точками из B, C и D, так как это создало бы треугольник ABC. Поэтому точка D может соединяться только с одной из точек B, C и D. Теперь рассмотрим два случая:

• Если D соединена только с одной точкой из B, C и D, то D образует треугольник с этой точкой и еще двумя другими точками из A, B и C, что противоречит предположению о том, что нет треугольников.

• Если D соединена с двумя точками из B, C и D, то это создает треугольник между D и этими двумя точками, что также противоречит предположению о том, что нет треугольников.

Таким образом, первый случай не может быть верным.

Теперь рассмотрим второй случай, когда точки A, B и C образуют замкнутую фигуру, но не треугольник. В этом случае точка D может быть соединена с одной из точек A, B и C, но это все равно создаст треугольник. Точно так же можно рассмотреть другие точки, и каждая из них создаст треугольник, что противоречит исходному предположению.

Итак, в обоих случаях мы пришли к противоречию, и, следовательно, изначальное предположение о том, что нет треугольников в данной конфигурации точек и отрезков, неверно. Таким образом, обязательно найдутся три отрезка, образующих треугольник.