Question

Один из правильных n-угольников описан около окружности, а другой вписан в неё. Может ли отношение площадей этих многоугольников быть больше 4?

Answer 1

Да, может конечно!!!

Answer 2

Да, отношение площадей описанного и вписанного многоугольников может быть больше 4. Рассмотрим пример таких многоугольников.

Пусть у нас есть правильный 4-угольник, который описан около окружности, и правильный 4-угольник, который вписан в эту же окружность. Для удобства предположим, что сторона каждого 4-угольника равна 1.

1. Первый многоугольник (описанный): У правильного 4-угольника, описанного около окружности, диагональ равна диаметру окружности. Если сторона равна 1, то диагональ равна sqrt(2) (по теореме Пифагора). Таким образом, площадь первого многоугольника равна S1 = (1 * sqrt(2)) / 2 = sqrt(2) / 2 ≈ 0.71.

2. Второй многоугольник (вписанный): У правильного 4-угольника, вписанного в окружность, радиус равен половине длины стороны. Так как сторона равна 1, то радиус равен 1/2. Таким образом, площадь второго многоугольника равна S2 = (1/2)^2 * π = π / 4 ≈ 0.79.

Теперь найдем отношение площадей:

Отношение = S1 / S2 ≈ (0.71) / (0.79) ≈ 0.89.

Как видите, отношение площадей превышает 4 и составляет около 0.89. Таким образом, возможно, чтобы отношение площадей описанного и вписанного правильных n-угольников было больше 4.