Question

Сумма цифр двузначного числа равна 9. Сумма квадратов этих цифр равна 41. Если из этого числа вычесть 9, то получится число с теми же цифрами, но записанное в обратном порядке. Найдите это число.

Answer 1

1. Рассмотрим двузначное число x с цифрами a и b:

x = ab = 10 + b.

2. Сумма цифр числа x равна 9:

a + b = 9, (1)

а сумма их квадратов - 41:

a^2 + b^2 = 41. (2)

3. Решим систему уравнений (1) и (2), выделив квадрат двучлена:

{a + b = 9;
{a^2 + b^2 = 41;
{a + b = 9;
{(a + b)^2 - 2ab = 41;
{a + b = 9;
{9^2 - 2ab = 41;
{a + b = 9;
{81 - 2ab = 41;
{a + b = 9;
{2ab = 40;
{a + b = 9;
{ab = 20.
4. По обратной теореме Виета, числа a и b являются корнями приведенного квадратного уравнения:

p^2 - 9p + 20 = 0;
D = 9^2 - 4 * 20 = 81 - 80 = 1;
p = (9 ± √1)/2 = (9 ± 1)/2;
p1 = (9 - 1)/2 = 8/2 = 4;
p2 = (9 + 1)/2 = 10/2 = 5.
a) x = 45;
b) x = 54.
5. Третье условие задачи:

x = ab;
y = ba;
x - 9 = y.
a) x = 45; y = 54;

x - y = 45 - 54 = -9;

b) x = 54; y = 45;

x - y = 54 - 45 = 9.

Ответ: 54.

Answer 2

Я отвечу подробно. Пусть двузначное число состоит из цифр x и y, тогда можно составить следующие уравнения:

x + y = 9 x^2 + y^2 = 41 10x + y - 9 = 10y + x

Решая эти уравнения, можно найти, что x = 5 и y = 4. Значит, искомое число равно 54. Если из него вычесть 9, то получится 45, что является числом с теми же цифрами, но записанным в обратном порядке.