Question

В треугольнике АBC угол А=90градусов, угол С=15градусов. На стороне АС отмечена точка D так, что угол DBC=15градусов. а)Докажите, что BD=2AB б)Докажите, что BC<4АВ

Answer 1

а) если угол DBC=15градусов. то  угол ABD =60 (т,к 75-15 =60). из этого следует что угол  ADВ=30(180-(90+60) ), А нам известно что катет лежащий на против угла 30 град равен половине гитенузы т.е AB=1/2BD или BD=2AB

Answer 2

a) Для доказательства bd=2ab докажем, что треугольники Аbd и Cba подобны.

По условию, угол dbc и угол C равны 15 градусам, следовательно, эти углы являются вертикальными углами и равны между собой. Также, углы А и С равны 90 и 15 градусам соответственно.

Тогда, треугольник Аbd подобен треугольнику Cba по двум углам, поскольку у них два угла общие и равны.

Следовательно, по свойству подобных треугольников, отношение соответствующих сторон равно.

То есть, bd/ab = ca/cb.

По условию, угол С равен 15 градусам, следовательно, угол Ca является вертикальным углом и также равен 15 градусам.

Таким образом, Ca = bd, а cb = 2ab.

Подставляя эти значения в отношение сторон треугольников, получаем: bd/ab = bd/2ab.

Обратим эту пропорцию, получим: 1 = 1/2, что является верным.

Следовательно, bd = 2ab.

b) Для доказательства bc<4ab рассмотрим треугольники Abc и Cba.

По условию, угол А и угол С равны 90 и 15 градусам соответственно.

По свойству треугольника, сумма всех внутренних углов равна 180 градусам. Значит, угол Аbc = 180 - 90 - 15 = 75 градусов.

Также, у треугольника Cba угол Abc является вертикальным углом и равен 75 градусам.

Заметим, что треугольники Abc и Cba подобны по трем углам: углу A, углу Аbc и углу Cba.

Следовательно, их стороны пропорциональны.

То есть, ab/bc = bc/ca.

Из предыдущего доказательства мы знаем, что ca = bd, а cb = 2ab.

Подставляя эти значения в пропорцию, получаем: ab/bc = bc/bd.

Обратим данную пропорцию, получим: 1 = bd/bc.

Таким образом, доказываемое неравенство справедливо: bc<4ab.