Question

ДАЮ 35 БАЛЛОВ дан треугольник с ВЕРШИНАМИ А(-3,0),В(-1,6), С(3,2)Найти :1)уравнение сторон АС2)уравнение высоты АК3)длину средней линии МР/ВС4)угол МР^МВ5)ТОЧКУ пересечения высот треугольника.

Answer 1

$A(-3,0)\; ,\; \; B(-1,6)\; ,\; \; C(3,2)\\\\1)\; \; AC:\; \; \frac{x+3}{3+3}=\frac{y}{2-0}\; \; ,\; \; \; \frac{x+3}{6}=\frac{y}{2}\; \; ili\; \; \boxed {\frac{x+3}{3}=\frac{y}{1}}\\\\x+3=3y\; \; \to \; \; \boxed {x-3y+3=0}\; \; \to \; \; \; \boxed {y=\frac{1}{3}x+1}\\\\2)\; \; \vec{n}_{AK}=\vec{s}_{BC}=(3+1,2-6)=(4,-4)\; \; \to \; \; \vec{n}_{AK}=(1,-1)\\\\AK:\; \; A(x-x_0)+B(y-y_0)=0\; \; \to \; \; 1\cdot (x+3)-1\cdot (y-0)=0\; ,\\\\AK:\; \; \boxed {x-y+3=0}\; \; \to \; \; \boxed {y=x+3}$

$3)\; \; MP\parallel BC\; ,\; \; MP=\frac{1}{2}BC\\\\\overline {BC}=(3+1,2-6)=(4,-4)\; ,\; \; |\overline {BC}|=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{2\cdot 16}=4\sqrt{2}\\\\|\overline {MP}|=\frac{4\sqrt2}{2}=2\sqrt2\\\\4)\; \; \angle {(MP,MB})=?\; \; ,\; \; M\in AB\; ,\\\\\vec{s}_{MP}=\vec{s}_{BC}=(1,-1)\\\\\vec{s}_{MB}=\vec{s}_{AB}=(2,6)\; \; ili\; \; \vec{s}_{MB}=(1,3)\\\\cos\alpha =\frac{\overline {MP}\cdot \overline {MB}}{|\overline {MP}|\cdot |\overline {MB}|}=\frac{1-3}{\sqrt2\cdot \sqrt{10}}=\frac{-2}{2\sqrt5}=-\frac{\sqrt5}{5}\approx -0,45$

$\alpha \approx 180^\circ -arccos\, 0,45\approx 180^\circ -63,26^\circ =116,74^\circ$

$5)\; \; AK:\; \; x-y+3=0\\\\CN\perp AB\; ,\; \; \vec{n}_{CN}=\vec{s}_{AB}=(1,3)\\\\CN:\; \; 1\cdot (x+1)+3(y-6)=0\; ,\; \; x+3y-17=0\\\\AK\cap CN=M_0\\\\\left \{ {{x-y+3=0} \atop {x+3y-17=0}} \right. \; \left \{ {{x-y=-3} \atop {x+3y=17}} \right. \; \ominus \; \left \{ {{x=y-3} \atop {4y=20}} \right. \; \left \{ {{x=2} \atop {y=5}} \right. \; \; \Rightarrow \; \; M_0(2,5)$

Answer 2

Для решения данной задачи, давайте последовательно выполним каждый из пунктов.

1. Уравнение стороны AC: Для этого нам понадобится найти уравнение прямой, проходящей через точки A(-3, 0) и C(3, 2).

Используем формулу уравнения прямой: y = mx + b

где: m - коэффициент наклона прямой, b - свободный член (точка пересечения с осью y).

Вычислим коэффициент наклона m: m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (2 - 0) / (3 - (-3)) = 2 / 6 = 1/3

Теперь найдем свободный член b, подставив координаты одной из вершин (например, A(-3, 0)): 0 = (1/3) * (-3) + b b = 1

Таким образом, уравнение стороны AC: y = (1/3)x + 1

2. Уравнение высоты AK: Чтобы найти уравнение высоты, проведенной из вершины A, мы должны найти координаты точки пересечения высоты с стороной BC.

Найдем коэффициент наклона перпендикулярной стороне BC прямой, которая проходит через точку A(-3, 0). Коэффициент наклона перпендикулярной прямой будет равен отрицательной обратной величине коэффициента наклона стороны BC, т.е. -1 / (1/3) = -3.

Теперь найдем свободный член b, подставив координаты точки A(-3, 0): 0 = -3 * (-3) + b b = 9

Уравнение высоты AK: y = -3x + 9

3. Длина средней линии MR/VS: Средняя линия треугольника делит стороны пополам и соединяет середины этих сторон. Для стороны AC нам нужно найти середину отрезка AC и затем уравнение прямой, проходящей через середину и точку M.

Середина отрезка AC имеет координаты (x, y), где: x = (x1 + x2) / 2 y = (y1 + y2) / 2

Для AC: x = (-3 + 3) / 2 = 0 y = (0 + 2) / 2 = 1

Теперь найдем коэффициент наклона прямой, проходящей через точки M(0, 1) и B(-1, 6): m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (6 - 1) / (-1 - 0) = 5 / -1 = -5

Теперь найдем свободный член b: 1 = -5 * 0 + b b = 1

Уравнение средней линии MR/VS: y = -5x + 1

4. Угол MR^MV: Угол MR^MV будет равен углу между прямыми MR и MV. Для этого нам нужно найти угловой коэффициент обеих прямых и затем воспользоваться формулой для нахождения угла между двумя прямыми.

Угловой коэффициент MR: m_MR = -5

Угловой коэффициент MV: m_MV = 1/3

Формула для нахождения угла между двумя прямыми: tg(угол MR^MV) = |(m_MR - m_MV) / (1 + m_MR * m_MV)|

tg(угол MR^MV) = |(-5 - 1/3) / (1 + (-5) * (1/3))| = |-16/16| = 1

Таким образом, угол MR^MV равен 45 градусам.

5. Точка пересечения высот треугольника: Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром. Для её нахождения, найдем точку пересечения прямых AK и BM.

Уравнение прямой AK: y = -3x + 9

Уравнение прямой BM: y = (1/3)x + 1

Чтобы найти точку пересечения, приравняем два уравнения: -3x + 9 = (1/3)x + 1

Добавим 3x к обеим сторонам уравнения: 9 = (1/3)x + 3x + 1

Упростим: 9 = (10/3)x + 1

Вычтем 1 из обеих сторон уравнения: 8 = (10/3)x

Теперь найдем значение x: x = 8 * 3 / 10 x = 24 / 10 x = 2.4

Теперь найдем значение y, подставив значение x в любое из уравнений (для примера, возьмем уравнение прямой AK): y = -3 * 2.4 + 9 y = -7.2 + 9 y = 1.8

Таким образом, точка пересечения высот треугольника (ортоцентр) имеет координаты (2.4, 1.8).

Итак