Question

Знайти проміжки спадання функції f ( x ) = x 3 − 3 x 2

Answer 1

Ответ:

(0; 2)

Объяснение:

Перевод: Найти промежутки убывания функции f(x)=x³-3·x².

Решение. Применим свойство производной от функции:

Если производная от функции отрицательна на интервале (a; b), то функция убывает на интервале (a; b).

1) Производная от функции:

f '(x)=(x³-3·x²)'=(x³)'-3·(x²)'=3·x²-6·x.

2) Определяем нули производной:

f '(x)=0 ⇔ 3·x²-6·x=0 ⇔ 3·x·(x-2)=0 ⇒ x₁=0, x₂=2.

3) На каждом из интервалов (-∞; 0), (0; 2) и (2; ∞) определяем знак функции:

а) -1∈(-∞; 0)

f '(-1)=3·(-1)²-6·(-1)=3·1+6·1=9>0 - не подходит;

б) 1∈(0; 2)

f '(1)=3·1²-6·1=3-6= -3<0 - подходит;

в) 3∈(2; +∞)

f '(3)=3·3²-6·3=27-18=9>0 - не подходит.

Answer 2

Для знаходження проміжків спадання функції f(x) = x^3 - 3x^2, спершу знайдемо похідну функції і визначимо її знаки.

Похідна функції f(x) = x^3 - 3x^2: f'(x) = 3x^2 - 6x.

Тепер знайдемо критичні точки, де похідна дорівнює нулю або не існує: 3x^2 - 6x = 0, 3x(x - 2) = 0.

Отримуємо дві критичні точки: x = 0 та x = 2.

Тепер розглянемо інтервали між критичними точками та додатні та від'ємні значення похідної на цих інтервалах, щоб визначити знаки похідної та спадання функції.

1. Інтервал (-∞, 0): Оберемо точку в кожному підінтервалі: a) x = -1, f'(-1) = 3 - 6 = -3 < 0 (похідна від'ємна, функція спадає); b) x = -0.5, f'(-0.5) = 0.75 - 3 = -2.25 < 0 (похідна від'ємна, функція спадає).

2. Інтервал (0, 2): Оберемо точку в цьому інтервалі: x = 1, f'(1) = 3 - 6 = -3 < 0 (похідна від'ємна, функція спадає).

3. Інтервал (2, ∞): Оберемо точку в кожному підінтервалі: a) x = 3, f'(3) = 27 - 18 = 9 > 0 (похідна додатня, функція зростає); b) x = 4, f'(4) = 48 - 24 = 24 > 0 (похідна додатня, функція зростає).

Отже, функція f(x) = x^3 - 3x^2 спадає на інтервалах (-∞, 0) і (0, 2) та зростає на інтервалі (2, ∞).

Проміжки спадання функції:

1. (-∞, 0)
2. (0, 2)