Question

На далекую планету приземлился робот и начал собирать себе друга. Каждый день количество роботов удваивалось, и через 14 дней ими заполнилась вся до той поры пустующая планета. А сколько дней понадобилось, чтобы заполнить роботами половину планеты?

Answer 1

Давайте разберемся. Пусть x - это количество роботов в первый день.

На второй день их количество удваивается, поэтому на второй день будет 2x роботов.

Третий день: 2 * (2x) = 4x роботов.

И так далее. Общее количество роботов через n дней будет равно \(x \cdot 2^n\).

Согласно условию, через 14 дней это количество стало равно размеру планеты, так что:

\[x \cdot 2^{14} = \text{размер планеты}\]

Теперь, чтобы найти количество роботов, заполняющих половину планеты, нужно найти значение x, при котором \(x \cdot 2^k = \frac{1}{2} \cdot \text{размер планеты}\).

Решим уравнение:

\[x \cdot 2^k = \frac{1}{2} \cdot \text{размер планеты}\]

Подставим \(x \cdot 2^{14} = \text{размер планеты}\):

\[2^k \cdot 2^{14} = 2^{k+14} = \frac{1}{2} \cdot 2^{14}\]

Теперь выразим k:

\[k + 14 = 14 - 1 = 13\]

Таким образом, для заполнения половины планеты роботами понадобилось 13 дней.