Question

Лужайка в парке имеет форму прямоугольника размером a * b метров разбитого на квадраты со стороной 1 метр. Необходимо поставить внутри лужайки ограждения так, чтобы образовалась спиральная дорожка, закручивающаяся к центру лужайки. Определите длину такой лужайки

Answer 1

Первый забор идет вдоль стороны a и имеет длину a-1.
Второй забор идет вдоль стороны b и имеет длину b-1.
Третий забор имеет длину a-2. Четвертый имеет длину b-2.
И т. д., каждый вертикальный забор уменьшается каждый раз на 1,
то есть a-1, a-2, a-3... до 1
Каждый горизонтальный забор тоже уменьшается каждый раз на 1,
но первый забор имеет длину (b-2), а последний не 1, а (b-a).
Таким образом, сумма всех вертикальных заборов
S1 = 1+2+3+...+(a-1) = (1 + a - 1)*(a-1)/2 = a*(a-1)/2
Сумма всех горизонтальных заборов
S2 = (b-a)+(b-a+1)+(b-a+2)+...+(b-2) = (b-a+b-2)*(a-1)/2 = (2b-a-2)(a-1)/2
Итоговая длина всей ограды
S = S1 + S2 = a(a-1)/2 + (2b-a-2)(a-1)/2 = (a+2b-a-2)(a-1)/2 = (b-1)(a-1)