Question

53 ₁₀ в системе счисления с основой n оканчивается на 1 и содержит 3 цифры.Чему равно основание этой системы.Обьясните пожалуйста

Answer 1

53₁₀ = 311₄
Основание 4.
Раздели 53 на 4 и соедини остатки в обратном порядке.

Answer 2

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойством записи числа в системе счисления с основанием n. По данному свойству, для любого числа в такой системе остаток от деления этого числа на основание системы будет равен последней (самой правой) цифре этого числа.

По условию задачи, число оканчивается на 1 и содержит 3 цифры. Раз число оканчивается на 1, то мы можем записать его в форме x * n + 1, где x - некоторое число. Так как число содержит 3 цифры, то его можно записать в форме 10^2 * a + 10^1 * b + 10^0 * c, где a, b, c - цифры числа.

Сопоставляя два различных представления числа, получаем равенство: x * n + 1 = 10^2 * a + 10^1 * b + 10^0 * c

Заметим, что 10^2 = 100, 10^1 = 10, 10^0 = 1, тогда равенство принимает вид: x * n + 1 = 100 * a + 10 * b + c

Видим, что остаток от деления левой части равен 1, так как при делении на n остатком будет x, а x * n + 1 поделить на n уже нельзя без остатка. Аналогично, остаток от деления правой части будет равен 1.

Исходя из этого, получаем следующую систему уравнений: x * n + 1 = 100 * a + 10 * b + c x * n ≡ 0 (mod n)

Также исходя из условия задачи, мы знаем, что n > 1, так как в противном случае система счисления будет несостоятельной.

Решим эту систему уравнений методом подстановки. Из второго уравнения получаем, что x может иметь вид 1, 2, 3 и так далее. Подставляем x = 1 в первое уравнение: n + 1 = 100 * a + 10 * b + c

Смотрим на возможные значения a, b, c: a = 1, b = 0, c = 1: 1 + 1 = 100 + 0 + 1 = 101 a = 0, b = 1, c = 1: 1 + 1 = 100 * 0 + 10 + 1 = 11 a = 0, b = 0, c = 1: 1 + 1 = 100 * 0 + 10 * 0 + 1 = 2

Мы нашли решение, при котором основание системы равно 2 (n = 2), и также убедились, что для других значений x решения не существуют.

Таким образом, основание системы равно 2.