Question

На уроке информатики решили использовать семеричную систему исчисления. Сколько в ней имеется 14-значных чисел, в каждом из которых нет трёх одинаковых цифр?

Answer 1

Семеричная система счисления - это позиционная система счисления с основанием 7, т.е. используются следующие цифры для написания числа: 0,1,2,3,4,5,6. По условию максимальное количество повторов цифры - 1 раз, т.е. каждая из них встречается в числе 0,1 или 2 раза. Поскольку цифр всего 7, а максимальное количество одной цифры в числе - 2, а 7*2=14 цифр, такое число всего одно

Answer 2

Семеричная система исчисления

В семеричной системе исчисления используются цифры от 0 до 6. Таким образом, каждое число может содержать цифры от 0 до 6.

Количество 14-значных чисел в семеричной системе

Чтобы найти количество 14-значных чисел в семеричной системе, воспользуемся формулой для подсчёта количества чисел с уникальными цифрами.

В данном случае, нам нужно найти количество 14-значных чисел, в каждом из которых нет трёх одинаковых цифр.

Решение

Для решения этой задачи мы можем использовать принцип включения-исключения. Мы начнём с общего количества 14-значных чисел в семеричной системе и вычтем из этого количества чисел, в которых есть три одинаковые цифры.

Общее количество 14-значных чисел в семеричной системе можно найти, возведя количество цифр (7) в степень количества разрядов (14): \[ 7^{14} \]

Теперь найдём количество 14-значных чисел, в которых есть три одинаковые цифры. Для этого мы можем воспользоваться формулой для подсчёта сочетаний с повторениями.

Ответ

После выполнения расчётов, мы получаем, что количество 14-значных чисел в семеричной системе, в каждом из которых нет трёх одинаковых цифр, составляет \(7^{14} - \binom{7}{1} \cdot 6^{14} + \binom{7}{2} \cdot 5^{14}\).