Question

Найдите все де­ся­тич­ные числа, не пре­вос­хо­дя­щие 30, за­пись ко­то­рых в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем 4 оканчивается на 31.

Answer 1

Числа в системе счисления по основанию 4, заканчивающиеся на 31, в порядке возрастания, это:
31, 131, 231, 331, 1031, 1131, 1231...

$31_4=3\cdot 4 + 1 = 13_{10}$

$131_4=1\cdot 4^2+3\cdot 4 + 1 = 16 + 13 = 29_{10}$

В принципе уже понятно, что остальные будут больше 30, но для корректности

$231_4=2\cdot 4^2+3\cdot 4 + 1 = 32 + 13 = 45_{10}$

Answer 2

Давайте рассмотрим задачу.

Мы ищем десятичные числа, которые, когда переводятся в систему счисления с основанием 4, оканчиваются на 31.

Для решения этой задачи нам нужно найти все числа в десятичной системе, которые при переводе в систему счисления с основанием 4 дают остаток 31.

Для начала, давайте рассмотрим остатки от деления чисел от 1 до 30 на 4:

1 % 4 = 1 2 % 4 = 2 3 % 4 = 3 4 % 4 = 0 5 % 4 = 1 6 % 4 = 2 7 % 4 = 3 и так далее...

Таким образом, в десятичной системе числа, которые оканчиваются на 31 в системе счисления с основанием 4, будут иметь остаток 3 при делении на 4.

Давайте найдем все десятичные числа, не превосходящие 30, которые при делении на 4 дают остаток 3:

3, 7, 11, 15, 19, 23, 27

Теперь переведем эти числа в систему счисления с основанием 4:

3 в десятичной системе = 3 в системе с основанием 4 7 в десятичной системе = 13 в системе с основанием 4 11 в десятичной системе = 23 в системе с основанием 4 15 в десятичной системе = 33 в системе с основанием 4 19 в десятичной системе = 43 в системе с основанием 4 23 в десятичной системе = 113 в системе с основанием 4 27 в десятичной системе = 133 в системе с основанием 4

Таким образом, десятичные числа, не превосходящие 30 и оканчивающиеся на 31 в системе с основанием 4, будут соответствовать числам 13, 33, 43, 113 и 133 в системе счисления с основанием 4.