Question

Определите количество натуральных значений А, не превосходящих 100, для которых логическое выражение not X mod A > 0 → X mod 7 = 0 Λ X mod 5 = 0 истинно при любом целочисленном X.

Answer 1

Ответ:

2

Объяснение:

Избавимся от not: X mod A = 0 → X mod 7 = 0 Λ X mod 5 = 0. Заметим, что выражение X mod 7 = 0 Λ X mod 5 = 0 равносильно X mod 35 = 0. Действительно, утверждение "X делится на 5 и 7" истинно только тогда, когда X делится на 5 * 7 = 35. Значит, исходное выражение можно представить как X mod A = 0 → X mod 35 = 0

Следование ложно, если первая часть истинна, а вторая ложна, то есть когда X делится на A, но не делится на 35. Нужно, чтобы таких случаев не было. Если X не делится на 35, то X не должно делиться на A. Так как A % A = 0, для любого A найдётся такой x (x = A), что левая часть всегда истинна. Тогда при данном x правая часть также должна быть истинна: A mod 35 = 0, A = 35; 70 — 2 значения.

Answer 2

Это логическое выражение может быть разбито на две части: not x mod a > 0 и x mod 7 = 0 Λ x mod 5 = 0.

Первое выражение not x mod a > 0 истинно, если x не делится нацело на а, то есть при остатке от деления x на а > 0. То есть, чтобы это выражение было истинно для любого целочисленного x, а должно быть больше, либо равно 2.

Вторые два выражения x mod 7 = 0 Λ x mod 5 = 0 означают, что x должно делиться нацело и на 7, и на 5. Такие числа будут кратны как 7, так и 5.

Таким образом, мы ищем натуральные значения а, большие или равные 2, при которых найдется целое число x, которое будет одновременно кратно 7 и 5.

Наименьшее общее кратное чисел 7 и 5 – это 35. Это означает, что любое число, кратное 35, будет одновременно кратно 7 и 5.

Теперь мы можем перейти к определению количества натуральных значений а, не превосходящих 100, при которых число 35 делится нацело на а.

35 делится нацело на а только в случае, если а равно делителю 35. Значит, нам нужно найти количество делителей числа 35, не превосходящих 100.

Число 35 имеет 4 делителя: 1, 5, 7 и 35.

Из этих делителей только 5 и 7 удовлетворяют условию, что а должно быть больше или равно 2.

Таким образом, количество натуральных значений а, не превосходящих 100, при которых логическое выражение not x mod a > 0 → x mod 7 = 0 Λ x mod 5 = 0 истинно при любом целочисленном х, равно 2.