Question

Для кодирования последовательности, состоящей из букв А, Б, В, Г, Д, использовали неравномерный двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Для буквы Г использовали кодовое слово 1, для буквы Д — кодовое слово 01. Какова наименьшая возможная суммарная длина всех пяти кодовых слов?

Answer 1

Ответ:

Условие Фано означает, что ни одно кодовое слово не является префиксом другого кодового слова. При этом, чем более вероятна буква, тем короче ее кодовое слово.

Пусть вероятности букв А, Б и В равны p1, p2 и p3 соответственно. Тогда вероятности букв Г и Д равны (1-p1-p2-p3)/2.

Для буквы Г используется кодовое слово 1, которое занимает 1 бит. Для буквы Д используется кодовое слово 01, которое занимает 2 бита.

Суммарная длина всех пяти кодовых слов равна:

1 + 2p4 + L

где L - суммарная длина кодовых слов для букв А, Б и В, а p4 - вероятность буквы Г или Д.

Используя условие Фано, можно записать систему уравнений для определения вероятностей и длин кодовых слов:

p1 <= p2 + p3

p2 <= p1 + p3

p3 <= p1 + p2

p4 = (1-p1-p2-p3)/2

L = p1*l1 + p2*l2 + p3*l3

где l1, l2 и l3 - длины кодовых слов для букв А, Б и В соответственно.

Минимизируя суммарную длину всех кодовых слов при заданных ограничениях, получаем:

p1 = 1/4, p2 = 1/4, p3 = 1/4, p4 = 1/8

l1 = 2, l2 = 2, l3 = 1

Таким образом, суммарная длина всех пяти кодовых слов равна:

1 + 2*(1/8) + (1/4)*2 + (1/4)*2 + (1/4)*1 = 3.25

Наименьшая возможная суммарная длина всех пяти кодовых слов равна 3.25.

Answer 2

Для определения наименьшей возможной суммарной длины всех пяти кодовых слов, следует использовать алгоритм Фано для построения оптимального неравномерного двоичного кода. Основная идея алгоритма Фано заключается в том, чтобы часто встречающимся символам назначить более короткие кодовые слова, а менее часто встречающимся символам - более длинные кодовые слова.

Для данной задачи у нас есть следующие буквы и кодовые слова:

• Г: 1
• Д: 01

Сначала определим вероятности появления каждой из этих букв:

• P(Г) - вероятность появления буквы Г
• P(Д) - вероятность появления буквы Д

Затем рассчитаем длину каждого кодового слова с учетом его вероятности:

• Длина кодового слова для Г (L(Г)) = -log2(P(Г)) = -log2(1) = 0
• Длина кодового слова для Д (L(Д)) = -log2(P(Д)) = -log2(0.5) = 1

Теперь мы можем рассчитать суммарную длину всех пяти кодовых слов:

Суммарная длина = (L(Г) * количество букв Г) + (L(Д) * количество букв Д)

Суммарная длина = (0 * количество букв Г) + (1 * количество букв Д) = 0 + 1 * 2 = 2

Таким образом, наименьшая возможная суммарная длина всех пяти кодовых слов составляет 2 бита.