Question

Существует ли система счисления, в которой число 26, записанное в данной системе счисления, равняется кубу целого числа, записанного в этой же системе? Если да, то укажите её основание.

Answer 1

Нет, так как система счисления определяет только форму записи числа, но не их свойства. Не существует целого числа, куб которого = 26.

Ради примера возьмём число 3.

3³ = 27.

Переведём левую и правую часть в 8-ричную систему счисления:

$3^3_8 = 33_8$

Докажем истинность этого равенства.

3₈*3₈*3₈ = 11₈ * 3₈ = 33₈   [Справка: 7₁₀ = 9₈; 8₁₀ = 10₈; 9₁₀ = 11₈]

Как видим, запись чел поменялась, а математические свойства - нет.

Answer 2

Да, существует такая система счисления. Чтобы число 26 в этой системе равнялось кубу целого числа, это число должно быть представимо в виде $n^3$, где $n$ - целое число.

Итак, рассмотрим возможные значения $n$ и найдем соответствующее основание системы счисления.

1. При $n=2$, $2^3 = 8$, что не равно 26.
2. При $n=3$, $3^3 = 27$, что тоже не равно 26.
3. При $n=4$, $4^3 = 64$, что тоже не равно 26.
4. При $n=5$, $5^3 = 125$, что опять не равно 26.

Теперь перейдем к $n=6$. В этом случае, $6^3 = 216$, что все равно не равно 26.

И, наконец, при $n=3$, $7^3 = 343$, что снова не равно 26.

Таким образом, нет целого числа $n$, при котором число 26 будет равно кубу этого числа в любой системе счисления.