Question

Поиск коэффициентов парной линейной регрессии методом наименьших квадратов ​

Answer 1

===== PascalABC.NET =====

function Coeff(x, y: array of real): (real, real);

begin

 var Sx := x.Sum;

 var Sy := y.Sum;

 var Sx2 := x.Sum(p -> p * p);

 var Sxy := x.Zip(y, (p, q) -> p * q).Sum;

 var n := x.Length;

 var a0 := (Sy * Sx2 - Sxy * Sx) / (n * Sx2 - Sqr(Sx));

 var a1 := (n * Sxy - Sy * Sx) / (n * Sx2 - Sqr(Sx));

 Result := (a0, a1)

end;

begin

 var n := ReadInteger('Количество точек:');

 var x := ReadArrReal('Значения х:', n);

 var y := ReadArrReal('Значения y:', n);

 var (a0, a1) := Coeff(x, y);

 $'a0 = {a0}, a1 = {a1}'.Print

end.

Answer 2

Метод наименьших квадратов (МНК) является широко используемым методом для оценки коэффициентов парной линейной регрессии. Он позволяет найти наилучшую линию, которая аппроксимирует набор точек данных.

Для применения МНК к парной линейной регрессии, вам понадобятся следующие данные:

1. Набор пар значений (x, y), где x - независимая переменная, а y - зависимая переменная.
2. Количество точек данных в наборе, обозначенное как n.

Предположим, что парная линейная регрессия имеет следующую формулу:

y = a * x + b,

где a - коэффициент наклона (slope), b - свободный член (intercept).

Цель МНК состоит в том, чтобы найти такие значения a и b, чтобы минимизировать сумму квадратов отклонений (residuals) между фактическими значениями y и предсказанными значениями y на основе уравнения регрессии.

Шаги для вычисления коэффициентов парной линейной регрессии методом наименьших квадратов:

1. Вычислите средние значения x и y:

   x̄ = (x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n ȳ = (y₁ + y₂ + ... + yₙ) / n

2. Вычислите разности между каждым x и средним значением x̄, а также между каждым y и средним значением ȳ:

   dxᵢ = xᵢ - x̄ dyᵢ = yᵢ - ȳ

3. Вычислите суммы произведений dxᵢ * dyᵢ и квадратов dxᵢ:

   Σ(dxᵢ * dyᵢ) = dx₁ * dy₁ + dx₂ * dy₂ + ... + dxₙ * dyₙ Σ(dxᵢ²) = dx₁² + dx₂² + ... + dxₙ²

4. Вычислите коэффициент наклона a:

   a = Σ(dxᵢ * dyᵢ) / Σ(dxᵢ²)

5. Вычислите свободный член b:

   b = ȳ - a * x̄

После выполнения этих шагов, вы получите коэффициенты a и b, которые являются наименьшими квадратами для парной линейной регрессии.

Обратите внимание, что эти шаги описывают МНК для парной линейной регрессии. Если у вас есть более сложная модель регрессии, такая как множественная линейная регрессия с несколькими независимыми переменными, шаги будут отличаться.