Question

Сколько различных решений имеет система логических уравнений (x1 ∨ x2) ∧ (x1 ∧ x2 → x3) ∧ (x1 ∨ y1) = 1 (x2 ∨ x3) ∧ (x2 ∧ x3 → x4) ∧ (x2 ∨ y2) = 1 ... (x5 ∨ x6) ∧ (x5 ∧ x6 → x7) ∧ (x5 ∨ y5) = 1 (x6 ∨ x7) ∧ (x6 ∨ y6) = 1 x7 ∨ y7 = 1 где x1, …, x7, y1, …, y7, - логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

Answer 1

Конъюнкция истинна, если верны все конъюнкты. Значит, все импликации должны быть истинны.

Импликация истинна во всех случаях, кроме 1 → 0, поэтому если xk = 1, то и все x с номерами, большими k, единицы. Если записывать решение в виде  строчки со значениями переменных от x1 до x5, получается 6 решений: 00000, 00001, 00011, 00111, 01111, 11111.

Аналогично, есть 6 решений для игреков: 11111, 11110, 11100, 11000, 10000, 00000.

x2 ∨ y2 = 1, значит, хотя бы одна из переменных x2, y2 истинна. Подсчитываем число комбинаций.

1) x2 истинна (решение 01111 или 11111). Подходят все 6 решений для игреков, по правилу произведения получаем 2 * 6 = 12 решений.

2) x2 ложна (4 решения). Подходят 4 решения для игреков (все, кроме 10000 и 00000). По правилу произведения 4 * 4 = 16 решений.

Всего 12 + 16 = 28 решений.

Answer 2

Данная система логических уравнений может быть решена методом анализа булевых функций. Однако, чтобы точно определить количество различных решений, нам необходимо знать количество уникальных переменных (x1, x2, ..., x7, y1, y2, ..., y7) в системе.

Предположим, что в системе уравнений у нас есть N уникальных переменных (x1, x2, ..., xN, y1, y2, ..., yN). Тогда каждая переменная может принимать два возможных значения: 0 или 1.

Таким образом, общее количество возможных наборов значений для всех переменных равно 2^N.

Если N - количество уникальных переменных в вашей системе уравнений, то общее количество различных решений будет 2^N.