Question

Методом итераций вычислить корень уравнений вида f(x)=0, расположенный на интервале от [A,B], с абсолютной погрешностью. Определить так же число итераций, необходимое для нахождения корня. 1-x+sin(x)-Ln(1+x)-3=0 Отрезок: [2,3] Точность: 10^-4

Answer 1

Ответ:

function f(x: real): real;

begin

 f := 3 * sin(sqrt(x)) + 0.35 * x - 3.8

end;

var

 n: integer;

 a, b, c, fc, eps: real;

begin

 writeln('Введите границы интервала (a,b) и точность решения: ');

 readln(a, b, eps);

 n := 0;

 repeat

   c := (a + b) / 2;

   fc := f(c);

   if sign(fc) = sign(f(b)) then b := c

   else a := c;

   n := n + 1;

 until abs(a - b) <= eps;

 writeln('Найден корень уравнения х=', c, ' за ', n, ' итераций')

end.

Объяснение:

Answer 2

Метод итераций (или метод простой итерации) используется для нахождения приближенного значения корня уравнения f(x) = 0 путем последовательных приближений. Он имеет вид x_{n+1} = g(x_n), где g(x) - функция, приближенно равная x = f(x).

Для начала, давайте преобразуем уравнение f(x) = 0 к виду x = g(x):

f(x) = 1 - x + sin(x) - ln(1 + x) - 3 = 0 x = 1 + sin(x) - ln(1 + x) - 3

Теперь, чтобы найти приближенное значение корня на интервале [A, B], мы можем выбрать начальное приближение x_0 в этом интервале и использовать итерационную формулу x_{n+1} = g(x_n).

Ваша функция g(x) может быть выбрана следующим образом:

g(x) = 1 + sin(x) - ln(1 + x) - 3

Теперь давайте выполнять итерации до тех пор, пока разница между последовательными приближениями не станет меньше заданной точности (10^-4):

1. Выбираем начальное приближение, например, x_0 = (A + B) / 2 = (2 + 3) / 2 = 2.5.
2. Применяем итерационную формулу: x_{n+1} = g(x_n).
3. Повторяем шаг 2 до тех пор, пока |x_{n+1} - x_n| < 10^-4.

Для нахождения числа итераций, необходимого для достижения указанной точности, мы будем увеличивать счетчик на каждой итерации, пока не будет выполнено условие |x_{n+1} - x_n| < 10^-4.

Вот как это может выглядеть в псевдокоде:

plaintextCopy code
A = 2
B = 3
x = (A + B) / 2
tolerance = 1e-4
iterations = 0

while True:
    x_next = 1 + sin(x) - ln(1 + x) - 3
    if abs(x_next - x) < tolerance:
        break
    x = x_next
    iterations += 1

print("Approximate root:", x)
print("Number of iterations:", iterations)

Вы можете использовать свой любимый язык программирования, чтобы реализовать этот алгоритм и найти приближенное значение корня, а также число итераций, необходимых для достижения заданной точности.