Question

Упростить данные логические выражения с помощью законов алгебры логики. Задание 1. А & В v A & НЕ (В). Задание 2. (A v В) & (A v HE (В)). Задание 3. НЕ(НЕ(Х) ИЛИ НЕ(Y)).

Answer 1

Полезные законы:

• двойного отрицания: НЕ(НЕ(x)) = x
• распределительный: (A v B) & C = A & C v B & C
• переместительный: A & B = B & A, A v B = B v A
• закон де Моргана: HE(A v B) = HE(A) & HE(B)
• правила операций с константами: A & 1 = A, A v 0 = A

А & В v A & НЕ (В) = A & (B v НЕ(B)) = A & 1 = A

(A v В) & (A v HE (В)) = A & (A v HE(B)) v B & (A v HE(B)) = A & A v A & HE(B) v B & A v B & HE(B) = A v A & HE(B) v A & B v 0 = A & (1 v HE(B) v B) = A & 1 = A

HE(HE(X) v HE(Y)) = HE(HE(X)) & HE(HE(Y)) = X & Y

Answer 2

Давайте упростим каждое из данных логических выражений с помощью законов алгебры логики:

1. А & В v A & НЕ (В)

Используем закон дистрибутивности (x & y) v (x & z) = x & (y v z):

(A & В) v (A & НЕ(В))

Теперь можно применить закон дистрибутивности (x & y) v (x & z) = x & (y v z) ещё раз:

A & (В v НЕ(В))

Теперь внутри скобки у нас есть выражение "В v НЕ(В)", которое всегда истинно (тождественная истина), так как оно представляет собой объединение переменной с её отрицанием. Таким образом, мы можем упростить выражение:

A & 1

Из-за тождественной истины, результат равен просто переменной A:

A

2. (A v В) & (A v НЕ(В))

Используем закон дистрибутивности (x & y) v (x & z) = x & (y v z):

(A v В) & (A v НЕ(В))

Теперь можно применить закон дистрибутивности (x & y) v (x & z) = x & (y v z) ещё раз:

A v (В & НЕ(В))

Внутри скобки у нас есть выражение "В & НЕ(В)", которое всегда ложно (тождественная ложь), так как оно представляет собой конъюнкцию переменной с её отрицанием. Таким образом, мы можем упростить выражение:

A v 0

Из-за тождественной лжи, результат равен просто переменной A:

A

3. НЕ(НЕ(Х) ИЛИ НЕ(Y))

Используем закон двойного отрицания (НЕ(НЕ(x)) = x):

X ИЛИ НЕ(Y)

Здесь больше нет двойного отрицания, и выражение уже упрощено.