Question

Исполнитель U18 преобразует число, записанное на экране. У исполнителя есть три команды, которым присвоены номера: 1. Вычесть 12. Вычесть 33. Разделить нацело на 3При выполнении команды 3 выполняется деление нацело (остаток отбрасывается). Программа для исполнителя U18 – это последовательность команд. Сколько существует таких программ, которые исходное число 22 преобразуют в число 2?

Answer 1

Ответ:

2196

Объяснение:

Посчитаем, сколько команд переводят 22 в n, обозначим это количество как a(n). Положим a(22) = 1 (существует одна - пустая - программа, переводящая 22 в 22) и a(n) = 0 для всех n больше 22.

Любое число n могло получиться следующими способами:

• из n + 1 путем вычитания 1
• из n + 3 путем вычитания 3
• из 3n путем деления на 3
• из 3n + 1 путем деления на 3
• из 3n + 2 путем деления на 3

Тогда a(n) = a(n + 1) + a(n + 3) + a(3n) + a(3n + 1) + a(3n + 2).

Начинаем последовательно вычислять значения:

a(21) = a(22) + 0 + 0 + 0 + 0 = 1

a(20) = a(21) + 0 + 0 + 0 + 0 = 1

a(19) = a(20) + a(22) + 0 + 0 + 0 = 2

...

a(7) = a(8) + a(10) + a(21) + a(22) + 0

a(6) = a(7) + a(9) + a(18) + a(19) + a(20)

...

Получившиеся значения приведены в таблице:

$\begin{array}{||c|c||c|c||c|c||c|c||}n&a(n)&n&a(n)&n&a(n)&n&a(n)\\22&1&16&6&10&60&4&684\\21&1&15&9&9&88&3&1158\\20&1&14&13&8&129&2&2196\\19&2&13&19&7&191\\18&3&12&28&6&285\\17&4&11&41&5&433\end{array}$

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать динамическое программирование. Создадим массив DP, где DP[i] будет обозначать количество способов получить число i с использованием данных команд. Изначально DP[22] будет равно 1 (потому что у нас есть только один способ получить 22 - это оставить его без изменений).

Затем мы начнем итеративно обновлять значения DP[i] для всех чисел от 1 до 22 в порядке возрастания. Для каждого числа i мы будем рассматривать все три команды и добавлять к DP[i] количество способов получить число i, используя каждую из этих команд.

1. Для команды "Вычесть 12" мы проверим, можно ли вычесть 12 из числа i (т.е., i >= 12), и если можно, то добавим DP[i - 12] к DP[i].
2. Для команды "Вычесть 33" аналогично проверим, можно ли вычесть 33 из числа i (i >= 33), и если можно, то добавим DP[i - 33] к DP[i].
3. Для команды "Разделить нацело на 3" мы проверим, делится ли число i нацело на 3 (i % 3 == 0), и если да, то добавим DP[i / 3] к DP[i].

После завершения этой итерации DP[2] будет содержать количество способов получить число 2 из числа 22. Это будет ответ на ваш вопрос.

Вот Python код, который решает эту задачу:

pythonCopy code
def count_programs(target):
    DP = [0] * (target + 1)
    DP[22] = 1  # Исходное число 22
    for i in range(1, target + 1):
        if i >= 12:
            DP[i] += DP[i - 12]
        if i >= 33:
            DP[i] += DP[i - 33]
        if i % 3 == 0:
            DP[i] += DP[i // 3]
    return DP[target]

result = count_programs(2)
print(result)

Этот код выведет количество программ, которые могут преобразовать число 22 в число 2.