Question

С клавиатуры вводится 2 целых числа (a и b) и одно натуральное (n). Вывести на экран коэффициенты C_1, C_2 ... C_(n+1) разложения (ax+bx)^n=C_1x^n+C_2x^(n-1)y+...+C_(n+1)y^n.

Answer 1

Пусть $C_i^j$ — коэффициент в разложении $(ax+by)^j$ при $x^iy^{j-i}$, то есть

$(ax+by)^j=C_0^j x^j+C_1^j x^{j-1}y+C_2^jx^{j-2}y^2+\dots+C_j^j y^j$

Выразим коэффициенты для j + 1 через j:

$(ax+by)^{j+1}=(ax+by)^j\cdot(ax+by)=\\=(C_0^j x^j+C_1^j x^{j-1}y+C_2^jx^{j-2}y^2+\dots+C_j^j y^j)(ax+by)=\\=aC_0^j x^{j+1}+(aC_1^j+bC_0^j)x^jy+(aC_2^j+bC_1^j)x^{j-1}y^2+\dots+bC_j^j y^{j+1}$

Таким образом, $C_0^{j+1}=aC_0^j$, $C_{j+1}^{j+1}=bC_j^j$ и для всех остальных коэффициентов $C_i^{j+1}=aC_i^j+bC_{i-1}^j$

В ответ нужно вывести все коэффициенты для j = n.

Алгоритм: создадим список из n + 1 элемента, проинициализируем его так: a, b, 0, 0, ..., 0 (всего n - 1 ноль). Это коэффициенты разложения для j = 1. Затем в цикле будем обновлять значения, начиная с больших i.

Код (python 3):

a, b, n = map(int, input().split())

c = [a, b] + [0] * (n - 1)

for j in range(2, n + 1):

   c[j] = b * c[j - 1]

   for i in range(j - 1, 0, -1):

       c[i] = a * c[i] + b * c[i - 1]

   c[0] = a * c[0]

print(*c)

Пример ввода:

1 1 4

Пример вывода:

1 4 6 4 1

___________________________________________-

Можно сразу написать выражение для $C_i^j$. Тогда, если вы умеете считать биномиальные коэффициенты, всё получается короче (и быстрее):

from math import comb

a, b, n = map(int, input().split())

for i in range(n + 1):

   print(comb(n, i) * a**i * b**(n - i), end=" ")

Answer 2

Для вычисления коэффициентов разложения многочлена (ax + bx)^n можно воспользоваться биномиальной формулой. Коэффициенты C_1, C_2, ..., C_(n+1) можно вычислить следующим образом:

C_k = C(n, k) * a^(n-k) * b^k, где C(n, k) - биномиальный коэффициент "n по k".

Для вычисления биномиального коэффициента C(n, k), вы можете использовать следующую формулу:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!), где "!" обозначает факториал.

Давайте напишем пример кода на Python, который выполнит эту задачу:

pythonCopy code
import math

# Ввод значений a, b и n с клавиатуры
a = int(input("Введите значение a: "))
b = int(input("Введите значение b: "))
n = int(input("Введите значение n: "))

# Инициализируем список для хранения коэффициентов
coefficients = []

# Вычисление и добавление коэффициентов в список
for k in range(n + 1):
    coefficient = (math.comb(n, k) * (a ** (n - k)) * (b ** k))
    coefficients.append(coefficient)

# Вывод коэффициентов
for k, coefficient in enumerate(coefficients):
    print(f"C_{k+1} = {coefficient}")

Этот код сначала запрашивает значения a, b и n с клавиатуры, затем использует библиотеку math для вычисления биномиальных коэффициентов и добавляет коэффициенты в список. Наконец, он выводит коэффициенты на экран.