Question

Упростите логическое выражение 1) ¬(Av¬B)v¬(AvB)vA/\B = ? 2) (AvB) /\ (¬AvB) = ?

Answer 1

Ответ:

1) ¬(A ∨ ¬B) ∨ ¬(A ∨ B) ∨ A ∧ B = ¬A ∨ B

2) (A ∨ B) ∧ (¬A ∨ B) = B

Объяснение:

1) ¬(A ∨ ¬B) ∨ ¬(A ∨ B) ∨ A ∧ B = (¬A ∧ ¬¬B) ∨ (¬A ∧ ¬B) ∨ A ∧ B = (¬A ∧ ¬¬B) ∨ (¬A ∧ ¬B) ∨ A ∧ B = (¬A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B) ∨ A ∧ B = ¬A ∧ (B ∨ ¬B) ∨ A ∧ B = ¬A ∧ 1 ∨ A ∧ B = ¬A ∨ (A ∧ B) = (¬A ∨ A) ∧ (¬A ∨ B) = 1 ∧ (¬A ∨ B) = ¬A ∨ B

2) (A ∨ B) ∧ (¬A ∨ B) = B ∨ (A ∧ ¬A) = B ∨ 0 = B

Answer 2

Давайте пошагово упростим каждое из логических выражений:

1. \( \neg(A \vee \neg B) \vee \neg(A \vee B) \vee (A \wedge B) \)

Для начала рассмотрим дистрибутивность по закону Де Моргана:

\( \neg(A \vee \neg B) = \neg A \wedge B \)

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

\( (\neg A \wedge B) \vee \neg(A \vee B) \vee (A \wedge B) \)

Теперь упростим второе слагаемое, снова используя закон Де Моргана:

\( \neg(A \vee B) = \neg A \wedge \neg B \)

Подставим это обратно:

\( (\neg A \wedge B) \vee (\neg A \wedge \neg B) \vee (A \wedge B) \)

Теперь объединим первые два слагаемых, используя ассоциативность идемпотентности ( \( P \vee P = P \) ):

\( \neg A \wedge (B \vee \neg B) \vee (A \wedge B) \)

Так как \( B \vee \neg B \) всегда истинно, мы можем удалить это слагаемое:

\( \neg A \vee (A \wedge B) \)

Теперь можно упростить с использованием абсорбции ( \( P \vee (P \wedge Q) = P \) ):

\( \neg A \vee B \)

Таким образом, упрощенное логическое выражение равно \( \neg A \vee B \).

2. \( (A \vee B) \wedge (\neg A \vee B) \)

Это выражение представляет из себя логическое И (AND) между двумя условиями. Однако, заметим, что оба условия содержат \( B \). Таким образом, это выражение будет истинным только в случае, если \( B \) истинно.

Таким образом, упрощенное логическое выражение равно \( B \).