Question

В сообщении встречается 7 разных букв. При его передаче использован неравномерный двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Известны коды трёх букв: 1, 01, 001. Коды остальных четырёх букв имеют одинаковую длину. Какова минимальная суммарная длина всех 7-ми кодовых слов?​

Answer 1

Ответ:A - 1

B - 01

C - 001

D - 00000

E - 00001

F - 00010

G - 00011

Answer 2

Ответ: 26.

Построим дерево Фано для известных нам кодов букв. По нему мы видим, что свободна только ветвь 000. Чтобы получить 4 различных кода требуется 2 разряда (логарифм 4 по основанию 2), поэтому для кодов оставшихся 4 букв необходимо 5 разрядов (к двум требуемым добавляются три лидирующие нуля). Общее количество бит кодов: 5 * 4 + 1 + 2 + 3 = 26.

Answer 3

Условие Фано предполагает, что для каждого символа код является префиксным, то есть никакое кодовое слово не является префиксом другого кодового слова.

Известно, что коды трех букв имеют следующие длины: 1, 2 и 3 бита соответственно. Остальные четыре кодовых слова также должны иметь одинаковую длину.

Чтобы минимизировать суммарную длину всех кодовых слов, необходимо найти оптимальное распределение длин для оставшихся четырех букв. Давайте рассмотрим все возможные варианты:

1. Предположим, что оставшиеся четыре кодовых слова имеют длину 1 бит. Тогда суммарная длина будет равна 1 * 4 = 4 бита. Однако этот вариант не удовлетворяет условию Фано, поскольку одно кодовое слово (1) будет префиксом другого (01).

2. Предположим, что оставшиеся четыре кодовых слова имеют длину 2 бита. Тогда суммарная длина будет равна 2 * 4 = 8 битов. В этом случае коды для оставшихся четырех букв могут быть представлены следующим образом: 10, 00, 11, 01. Каждое кодовое слово является префиксом для других, и условие Фано выполняется.

Таким образом, минимальная суммарная длина всех семи кодовых слов, удовлетворяющих условию Фано, равна 8 битам.