Question

Значение арифметического выражения: 8^511 – 4^511 + 2^511 – 511 записали в системе счисления с основанием 2. Сколько значащих нулей в этой записи?

Answer 1

$8^{511} - 4^{511} + 2^{511} - 512 + 1 = 2^{1533} - 2^{1022} + 2^{511} - 2^{9} + 2^{0}$

Число $2^{n}_{10}$  в двоичной системе счисления выглядит как единица и n нулей за ней.

То есть у числа $2^{1533}$ ровно 1533 значащих нуля, а у числа $2^{1022}$ их ровно 1022.

Разница же таких чисел порождает единицы между первыми единицами изначальных чисел. Например, $2^{5} - 2^{3} \rightarrow 100000 - 1000 = 11000$. Появилось 5-3 = 2 единицы и осталось 3 (от последнего числа) значащих нуля.

Зная это, мы можем разобраться, сколько значащих нулей в загаданном числе.

$2^{1533} - 2^{1022} + 2^{511} - 2^{9} + 2^{0}$

$2^{1533} - 2^{1022}$ даёт нам 1022 значащих 0 и 511 единиц перед ними.

$2^{511} - 2^{9}$ даёт нам 9 значащих 0 и 502 единицы перед ними.

$2^0$ даёт нам 0 значащих 0 и 1 единицу перед ними (просто единица).

Теперь сложение.

Начинаем с самых больших разрядов. Понижаясь, вычитаем количество образовавшихся в середине единиц.

1022 - 502 - 1 = 519 - ответ.

Answer 2

Чтобы найти количество значащих нулей в записи данного числа в двоичной системе счисления, нужно проанализировать его битовое представление.

Для начала, давайте разложим каждое слагаемое на множители:

8^511 = (2^3)^511 = 2^(3511) = 2^1533 4^511 = (2^2)^511 = 2^(2511) = 2^1022 2^511 = 2^(1*511) = 2^511

Теперь сосчитаем количество значащих нулей в каждом слагаемом:

1. 2^1533: В двоичной системе счисления число 2^1533 будет иметь 1534 бита, так как самый старший бит будет равен 1, а остальные 1533 бита будут равны нулю. Таким образом, здесь нет значащих нулей.

2. 2^1022: Число 2^1022 будет иметь 1023 бита, так как самый старший бит будет равен 1, а остальные 1022 бита будут равны нулю. Здесь также нет значащих нулей.

3. 2^511: Число 2^511 будет иметь 512 битов, так как самый старший бит будет равен 1, а остальные 511 битов будут равны нулю. Здесь также нет значащих нулей.

Таким образом, в данной записи числа в системе счисления с основанием 2 нет значащих нулей.