Question

Задача на круги Эйлера. В классе 40 человек. Из них по русскому языку имеют \"3\" 19 человек, по математике 17 человек и по физике 22 человека. Только по одному предмету имеют \"3\" : по русскому языку 4 человека, по математике 4 человека и по физике 11 человек. Семь человек имеют \"3\" и по математике и по физике, из них пятеро имеют \"3\" и по русскому языку. Сколько человек учатся без \"3\" ? Сколько человек имеют \"3\" по двум из трёх предметов?

Answer 1

Так как число ребят, имеющих «тройки» по математике и физике, равно 7, то число учеников, имеющих только две «тройки» - по математике и по физике, равно 7-5=2. Тогда 17-4-5-2=6 учеников имеют две «тройки» - по математике и по русскому языку, а 22-5-2-11=4 ученика только две «тройки» - по физике и по русскому языку. В этом случае без «тройки» учится 40-22-4-6-4=4 ученика. А имеют «тройки» по двум предметам из трех 6+2+4=12 человек.

Answer 2

1)7-5=2 уч.-имеют две "3" по математике и по физике. 2)17-4-5-2=6 уч.-имеют две "3" по математике и по русскому. 3)22-5-2-11=4 уч.-имеют две "3" по физике и по русскому. 4)40-22-4-6-4=4 уч.-учатся без "3". 5)6+2+4=12 уч.-имеют "3" по двум предметам из трёх.

Answer 3

Для решения задачи на круги Эйлера нужно нарисовать три пересекающихся круга и внести в них известные данные:


Из условия задачи следует, что количество учеников, имеющих 3 по всем трем предметам, равно нулю, так как нет пересечения между всеми тремя кругами.

По русскому языку имеют 3 четыре человека, которые не имеют 3 ни по одному другому предмету. Таким образом, оставшихся 15 учеников по русскому языку успевают без троек.

Аналогично, оставшихся без троек учеников по математике и физике соответственно 13 и 8.

Далее, семь человек имеют 3 и по математике, и по физике, но только пятеро из них имеют 3 и по русскому языку. Значит, двое учеников имеют 3 и по математике, и по физике, но не имеют 3 по русскому языку.

Таким образом, наша схема примет следующий вид:


Оставшиеся ученики могут иметь 3 только по одному предмету. Число учеников, имеющих 3 по меньшей мере по одному предмету, равно сумме числа учеников в каждом круге, минус суммы числа учеников в пересечениях кругов, плюс число учеников, находящихся в области, где все три круга пересекаются:

$19+17+22-(4+4+11)+2=41$

Следовательно, число учеников без 3 равно $40-41+2=1$, то есть только один ученик не имеет троек.

Наконец, число учеников, имеющих 3 по двум из трех предметов, равно сумме числа учеников в каждом пересечении кругов, минус двойное число учеников, находящихся в области, где все три круга пересекаются:

$2+4+7-2\cdot2=9$

Ответ: 1 ученик учится без 3, 9 учеников имеют 3 по двум из трех предметов.