Question

Значение арифметического выражения 36^12+6^36-6 - записали в системе счисления с основанием 6. Сколько цифр 5 содержится в этой записи

Answer 1

Преобразуем выражение к виду, из которого легко перевести в шестеричную систему, затем переведём в неё и посчитаем, сколько получится:

[tex]36^{12}+6^{36}-6=6^{36}+(6^2)^{12}-6=6^{36}+6^{(2*12)}-6=\\ =6^{36}+6^{24}-6^1=(1*6^{36}+1*6^{24})-1*6^1=\\ =1000000000001000000000000000000000000_6-10_6=\\ =1000000000000555555555555555555555550_6[/tex]

Как видим, была разность двух чисел в шестеричной системе счисления.
Первое число состояло из двух единиц и кучи нулей.
Вторая единица- после неё было 24 нуля (т.к.  в шестеричной системе и есть единица с 24-мя нулями).
Потом мы вычли из этого единицу с одним нулём.
Получается, у нас из этих 24-ёх нулей, последний останется, а вместо остальных 23-ёх будут стоять пятёрки. Ну, а вместо второй единицы будет ноль.

Итого, в этой записи будет 23 пятёрки.

Answer 2

Выпишем расширенную форму записи этого числа в системе счисления с основанием 6:

36^12 + 6^36 - 6 = ((3*6 + 0)^12 + (0*6 + 6)^36 - (0*6 + 6))

Рассмотрим каждое слагаемое отдельно и найдем количество цифр 5 в его записи.

1) (3*6 + 0)^12 = 729^6 = (1*6^3 + 3*6^2 + 3*6 + 3)^6

Для того, чтобы получить цифру 5 в конечной записи, нужно, чтобы каждое слагаемое было равно 5 или больше. Но для всех степеней 6 (от 6^0 до 6^5) получаются числа, в которых находится не более одной цифры 5, а остальные цифры меньше 5. Поэтому в записи этого слагаемого нет цифр 5.

2) (0*6 + 6)^36 = 6^36

В этом случае нужно найти количество цифр 5 в записи числа 6^36. Заметим, что у числа 6^36 три фактора 2 и три фактора 3, но нет факторов 5. Поэтому в записи этого слагаемого нет цифр 5.

3) (0*6 + 6) = 6

В этом слагаемом есть одна цифра 5.

Итак, в исходном выражении в системе счисления с основанием 6 есть только одна цифра 5. Ответ: 1.