Question

Найти основание системы счисления, в которой справедливо следующее равенство: 2Y45+Z1X7=X5Y0. Определить неизвестные цифры, обозначенные буквами

Answer 1

Запишем как сложение столбиком:

$\begin{array}{cccc}2&Y&4&5\\Z&1&X&7\\X&5&Y&0 \end{array}$

Берем 4-й (самый правый) столбец: если 7+5 дают 0 (и 1 "в уме"), значит 7+5=12 - это и есть основание системы счисления. То есть у нас могут быть цифры 0123456789AB, где A соответствует десятичному 10, B - десятичному 11.

Теперь посмотрим на второй столбец. Тут есть два варианта:
1) y+1=5 и тогда y=4
2) после вычисления третьего столбца осталось "1 в уме" и тогда y+1+1=5 и тогда y=3

Надо проверить какой из этих вариантов. Смотрим на третий столбец:
y = x + 4 + "1 в уме" от 4-го столбца, то есть y = (x + 5). Так как y < 5, значит (x + 5) = (12 + y) или 1Y в 12-ричной записи. Отсюда x = y + 7

Находим x. Получается что если y=4, то x=11 (B), а если y=3, то x=10 (A).

При таких значениях X (что 10, что 11) при вычислении 3-го столбца (то есть x+5) будет переполнение (по модулю 12), то есть "1 в уме" всё таки будет. Это соответствует нашему допущению 2) - значит y = 3, а x = 10 (А в 12ричной записи).

Теперь смотрим на первый столбец (самый левый). Z+2 = X, то есть Z = X - 2 = 10 - 2 = 8.

Ответ: в двенадцатеричной системе счисления, X=A, Y=3, Z=8

Проверка:

Перевод в десятичную систему счисления (12*12=144, 12*12*12=1728):

2345 = 2*1728+3*144+4*12+5 = 3941

81A7 = 8*1728+1*144+10*12+7 = 14095

A530 = 10*1728+5*144+3*12 = 18036

Теперь проводим сложение в привычной десятичной системе счисления и сравниваем ответ:

3941+14095=18036

Answer 2

Для нахождения основания системы счисления необходимо заметить, что числа, записанные в данном уравнении, имеют разряды, соответственно, 3, 2 и 4. Таким образом, для основания системы счисления необходимо выбрать число, которое удовлетворяет условию:

3 + 2 ≤ 4 + 1

Это неравенство означает, что количество цифр в наибольшем числе должно быть не меньше, чем количество цифр в сумме остальных чисел. В данном случае это число X5Y0.

Таким образом, можно выбрать основание системы счисления равным 10 или больше.

После этого можно переписать уравнение в следующем виде:

2 × (10³) + Y × (10²) + 4 × (10) + 5 + Z × (10²) + 1 × (10) + X × (10³) + 7 = X × (10³) + 5 × (10²) + Y × (10)

Здесь мы использовали стандартную форму записи чисел в системе счисления с основанием 10.

Далее, можно привести все слагаемые с одинаковыми степенями 10:

2 × (10³) + X × (10³) + Y × (10²) + Z × (10²) + 4 × (10) + 1 × (10) + 7 = X × (10³) + 5 × (10²) + Y × (10)

Теперь можно сократить выражения, содержащие X и Y, и получить:

2 × (10³) + Z × (10²) + 4 × (10) + 8 = 1000X + 490Y

Здесь мы использовали то, что 1 × (10) + 7 = 17 и 5 × (10²) = 500.

Таким образом, мы получили уравнение, в котором остались только неизвестные цифры Z, X и Y. Решая это уравнение, можно найти значения этих цифр.

Однако, данного уравнения недостаточно для определения всех цифр. Действительно, уравнение имеет два неизвестных (X и Y), но лишь одно уравнение. Таким образом, для определения всех цифр необходимо дополнительное условие.

Поэтому, ответ на поставленную задачу невозможен без дополнительных условий.