Question

Cколько единиц в двоичной записи числа 8^1234-4^234+2^1620-108?

Answer 1

2^n в двоичной системе - это 1 и n нулей после неё. Например, 2^5(10) = 100000(2)
Приведём все степени к основанию 2

2^3702-2^468+2^1620-108

-108 можно представить как -128 + 16 + 4

2^3702-2^468+2^1620-2^7 + 2^4 + 2^2

Теперь выстраиваем степени в порядке убывания:

2^3702+2^1620-2^468-2^7 + 2^4 + 2^2

В выражении два вычитания подряд, избавимся от этого, заменив -2^468 на -2^469 + 2^468

2^3702+2^1620 -2^469+2^468-2^7 + 2^4 + 2^2

2^3702 - 1 единица
2^4 - 1 единица
2^2 - 1 единица

Количество единиц в вычитаниях будет равно разнице степеней. Например 1000000-100=1111

2^1620 -2^469 - количеств единиц 1620-469 = 1151
2^468-2^7 - количество единиц 468-7 = 461
Общее количество единиц равно 3+1151+461 = 1615

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, нам нужно вычислить значение выражения 8^1234-4^234+2^1620-108 и записать его в двоичной системе счисления. Затем мы можем посчитать количество единиц в этой двоичной записи.

Для начала, заметим, что 8^1234 можно представить как (2^3)^1234, что равно 2^3702. Аналогично, 4^234 можно представить как (2^2)^234, что равно 2^468. И 2^1620 — это просто 2^1620.

Таким образом, выражение 8^1234-4^234+2^1620-108 можно переписать в виде:

2^3702 - 2^468 + 2^1620 - 108

Теперь нужно вычислить это значение. Однако, напрямую вычислять его не очень эффективно. Но мы можем заметить, что во всех слагаемых есть общий множитель 2^468. Мы можем его вынести за скобки:

2^468 * (2^3234 - 1 + 2^1152 - 108/2^468)

Здесь мы также использовали факт, что 4^234 = (2^2)^234 = 2^468.

Теперь мы можем вычислить значение внутри скобок. Заметим, что 2^3234 - 1 — это число, состоящее из 3234 единиц в двоичной системе счисления. Аналогично, 2^1152 - 1 состоит из 1152 единиц.

Таким образом, выражение в скобках можно переписать в виде:

3234 единицы + 1152 единицы - 54 единицы

Здесь мы вычислили количество единиц в числе 108/2^468, что дало нам 54 единицы.

Таким образом, мы получаем:

2^468 * (3234 + 1152 - 54)

= 2^468 * 4332

Теперь нужно выразить 2^468 в виде произведения степени двойки на некоторое число. Для этого мы можем разделить 468 на 8 (так как 2^8 = 256):

468 = 8 * 58 + 4

Таким образом, 2^468 = 2^(8*58+4) = (2^8)^58 * 2^4 = 256^58 * 16.

Подставляем это значение и получаем:

256^58 * 16 * 4332

Теперь мы можем вычислить это значение в двоичной системе счисления. Для этого нужно выразить каждый множитель в виде произведения степени