Question

Для передачи помехоустойчивых сообщений в алфавите, который содержит 16 различных символов, используется равномерный двоичный код. Этот код удовлетворяет следующему свойству: в любом кодовом слове содержится четное количество единиц (возможно, ни одной). Какую наименьшую длину может иметь кодовое слово? Если можно, объясните подробно, пожалуйста

Answer 1

Ответ: 5 

Пояснение:
Существует 16 двоичных слов длины 4
Т.к. среди них есть слова, содержащие 1 или 3 единицы, то в нашем коде нужно использовать кодовые слова с длиной больше, чем 4
Слов длины 5 достаточно 
Искомые кодовые слова можно получать, например, добавляя к каждому из 16 возможных двоичных слов справа "бит четности", равный 0, если 4-значное двоичное слово содержит четное количество единиц, и равный 1 в противном случае
Например, двоичное слово 0000 преобразуется в 00000, а двоичное слово 1011 – в 10111

Answer 2

Для передачи помехоустойчивых сообщений с использованием равномерного двоичного кода, каждый символ в алфавите будет представлен последовательностью из двух бит: 00, 01, 10 и 11. Таким образом, 16 символов будут представлены с помощью 16 различных двухбитных последовательностей.

Для того, чтобы обеспечить свойство четного количества единиц в каждом кодовом слове, мы можем использовать коды с четным числом единиц. Это означает, что каждое кодовое слово будет содержать 0, 2 или 4 единицы. Кроме того, нам нужно выбрать такой набор кодов, чтобы каждое кодовое слово было уникальным.

Рассмотрим все возможные комбинации из 2 бит: 00, 01, 10 и 11. Каждый код должен содержать четное число единиц, поэтому мы можем выбрать только следующие три кода: 00, 11, 10. Это означает, что каждый символ в алфавите будет представлен одним из трех кодов: 00, 11 или 10.

Таким образом, чтобы передать сообщение из 16 символов, нам нужно выбрать кодовое слово длиной 2 бита для каждого символа. Всего возможно $3^{16}$ различных комбинаций кодовых слов, поскольку каждый символ может быть представлен одним из трех кодовых слов. Для того, чтобы выбрать такой набор кодов, чтобы каждое кодовое слово было уникальным, нам нужно выбрать кодовое слово длиной не менее 5 бит.

Например, мы можем выбрать следующие кодовые слова:

00 - 00000 11 - 11111 10 - 10101

Каждое кодовое слово имеет четное число единиц, и каждое кодовое слово уникально. Таким образом, наименьшая длина кодового слова для передачи помехоустойчивых сообщений в алфавите, который содержит 16 различных символов и удовлетворяет свойству четного количества единиц в каждом кодовом слове, составляет 5 бит.