Question

Помогие светлые умы(( Дан мешок, в котором лежат 3 чёрных шара, 5 красных и 7 белых шаров (это наш алфавит). Каково количество информации, измеренной в натах, заключено в сообщении: а) вытащенный из мешка шар является чёрным; б) вытащенный из мешка шар является чёрным или белым; в) из мешка вытащили красный шар, а потом ещё один красный шар; г) из мешка вытащили красный шар, а потом не красный шар; д) из мешка вытащили красный шар, а потом не белый шар.

Answer 1

Объяснение:

Для начала найдем общее количество шаров в мешке и не надо брать в голову слово "алфавит" - оно лишь сбивает с толку. Тут везде используем формулу Хартли - события равновероятны. Формулу Хартли обычно используют по упрощенной для вычислений схеме: переврачивают "вверх ногами" простую дробь, полученную при оцнке вероятности и берут от нее логарифм.

В мешке 3+5+7 = 15 шаров

а) Вытащен черный шар. Таких шаров 3, шанс (вероятность) вытащить черный шар 3 из 15. 3/15, "перевернем", будет 15/3 = 5. Результат в натах равен ㏑5 ≈ 1.609

б) Черный или белый шар. Этих шаров 3+7=10, шанс наступления события 10 из 15, "переворачиваем",  15/10 = 1.5, находим наты:

㏑1.5 ≈ 0.405

в) Красный, потом еще красный. Для первого красного шанс 5 из 15. При удаче в мешке останется 14 шаров, из них 4 красных, шанс получить такой 4 из 14. События должны наступить вместе, поэтому полученные дроби перемножаем. (5/15) * (4/14) = 2/21. Перевернем дробь, возьмем логарифм. ㏑(21/2) ≈ 2.351 (нат)

г) красный и не красный. Как показано выше, для красного шанс 5/15 = 1/3. Для некрасного 10/14 (надеюсь, тут ясно, что некрасных 3+7=10 шаров). Перемножаем, переворачиваем, берем логарифм.

( 1/3) × (10/14) = 5/21. ㏑(21/5) ≈ 1.435 (нат)

д) красный и не белый. По-прежнему для первого красного шанс 1/3.

Не белых из 14 останется 7 (4 красных и 3 черных) и шанс составит 7/14 = 1/2. Перемножаем, переворачиваем, логарифмируем.

(1/3) × (1/2) = 1/6. ㏑6 ≈ 1.792 (нат)

Answer 2

Для расчета количества информации в сообщении, измеренной в натах, мы будем использовать формулу Шеннона:

I = -log2(P)

где: I - количество информации в натах, P - вероятность события.

а) Вытащенный из мешка шар является чёрным. Вероятность вытащить чёрный шар: P(черный) = количество черных шаров / общее количество шаров = 3 / (3 + 5 + 7) = 3/15 = 1/5.

Тогда количество информации: I(черный) = -log2(1/5) = -log2(5/15) = -log2(1/3) = log2(3) ≈ 1.585 нат.

б) Вытащенный из мешка шар является чёрным или белым. Вероятность вытащить чёрный или белый шар: P(черный или белый) = (количество черных шаров + количество белых шаров) / общее количество шаров = (3 + 7) / (3 + 5 + 7) = 10/15 = 2/3.

Тогда количество информации: I(черный или белый) = -log2(2/3) ≈ 0.584 нат.

в) Из мешка вытащили красный шар, а потом ещё один красный шар. Вероятность вытащить красный шар, а затем ещё один красный шар: P(красный, красный) = (количество красных шаров / общее количество шаров) * ((количество красных шаров - 1) / (общее количество шаров - 1)) = (5/15) * (4/14) = 20/210 = 2/21.

Тогда количество информации: I(красный, красный) = -log2(2/21) ≈ 4.523 нат.

г) Из мешка вытащили красный шар, а потом не красный шар. Вероятность вытащить красный шар, а затем не красный шар: P(красный, не красный) = (количество красных шаров / общее количество шаров) * ((общее количество шаров - количество красных шаров) / (общее количество шаров - 1)) = (5/15) * (10/14) = 50/210 = 5/21.

Тогда количество информации: I(красный, не красный) = -log2(5/21) ≈ 2.501 нат.

д) Из мешка вытащили красный шар, а потом не белый шар. Вероятность вытащить красный шар,