Question

Доказать, что если натуральное число не делится на 3, то остаток от деления квадрата этого числа на 3 равен 1.

Answer 1

Если число х не делится на 3, то 

х = 3n + 1 или х = 3n + 2, 

тогда хˆ2 = (3n + 1)ˆ2 = 9nˆ2 + 6n + 1 или хˆ2 = (3n + 2)ˆ2 = 9nˆ2 + 12n + 4 = 9nˆ2 + 12n + 3 + 1

Остаток от деления на 3 этих чисел равен 1.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, давайте рассмотрим натуральное число, которое не делится на 3. Пусть это число обозначается как "n".

Тогда, согласно определению деления с остатком, мы можем записать n в виде n = 3k + r, где k - некоторое целое число, а r - остаток от деления n на 3. Заметим, что r может быть равным 0, 1 или 2.

Теперь, возведем обе части равенства в квадрат:

n^2 = (3k + r)^2 = 9k^2 + 6kr + r^2

Мы можем выразить n^2 в виде 3m + r^2, где m = 3k^2 + 2kr. То есть, n^2 также имеет остаток r^2 при делении на 3.

Теперь, рассмотрим все возможные значения остатка r при делении на 3:

1. Если r = 0, то n = 3k, и, следовательно, n^2 = 9k^2. Заметим, что 9k^2 делится на 3 без остатка.

2. Если r = 1, то n = 3k + 1. В этом случае, n^2 = (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1. Мы можем видеть, что 9k^2 делится на 3 без остатка, а остаток от деления (6k + 1) на 3 равен 1.

3. Если r = 2, то n = 3k + 2. В этом случае, n^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4. Опять же, 9k^2 делится на 3 без остатка, а остаток от деления (12k + 4) на 3 равен 1.

Таким образом, мы видим, что для любого натурального числа n, которое не делится на 3, остаток от деления n^2 на 3 всегда равен 1.