Question

1.Искусственный спутник находится на высоте 1000 км. Каков период его обращения, если радиус земли 6400 км, а ее масса 6*1024 кг. 2.Определить массу Юпитера, если расстояние от него до иo 420 км, период обращения которого 42,5 часа. Расстояние от Луны до Земли 384 км, период обращения 27,3 дня.

Answer 1

Ответ:  1) Период обращения спутника  1 час 45 минут 20,6 секунды.

2)  Масса Юпитера, примерно, в 311,3 раза больше массы Земли.

Объяснение:    1)  Дано:

Высота орбиты спутника над Землей  h = 1000  км = 10^6 м

Радиус Земли  Rз  =  6400 км = 6,4*10^6 м

Масса Земли  Мз = 6*10^24 кг

Гравитационная постоянная  G = 6,674*10^-11 м³/кг*с²

Найти период обращения спутника  Т - ?

На высоте полета спутника ускорение свободного падения, создаваемое Землей, равно:  gh = G*Мз/(Rз + h)². Это ускорение является центростремительным для спутника. С другой стороны центростремительное ускорение для спутника на этой  орбите  будет равно:  а = U²/(Rз + h). Здесь U – орбитальная скорость спутника.  Поскольку ускорение свободного падения на высоте полета спутника является для спутника центростремительным ускорением, то можно записать, что gh = а.  Тогда можно записать уравнение:               G*Мз/(Rз+h)² = U²/(Rз + h)

            или                G*Мз/(Rз + h) = U²  ---------------------- (1)

Но, орбитальная скорость спутника будет также равна:

U = 2π(Rз + h)/Т.            Возведя в квадрат это значение скорости и подставив его в выражение (1) имеем:  G*Мз/(Rз + h) = 4π²(Rз + h)²/Т².  

Отсюда Т² = 4π²(Rз + h)²/{G*Мз/(Rз + h)} = 4π²(Rз + h)³/G*Мз.  

Тогда Т = √{4π²(Rз + h)³/G*Мз}.

Подставив числовые значения параметров, имеем:

Т = √{4π²(6,4*10^6  + 10^6)³/6,674*10^-11 *6*10^24} = 6320,6 с =

=  1 час 45 минут 20,6 секунды.

2) Вначале следует заметить, что фактические радиусы орбит Ио и Луны в 1000 раз больше указанных в условии. Но, если в решении принять радиусы орбит равные указанным, то это не приведет к изменению результата решения. В конце решения это будет показано.  Вначале проведем расчеты, приняв фактические радиусы орбит.

Дано:

Период обращения Луны Т1 = 27,3 суток

Радиус орбиты Луны а1 = 384 000 км = 3,84*10^5 км

Период обращения Ио T2 = 42,5 часа = 42,5/24 = 1,77 суток

Радиус орбиты Ио а2 = 420000 км = 4,2*10^5 км

Масса Земли        - Мз = М1

Масса Юпитера – Мю = М2

Найти во сколько раз масса Юпитера больше массы Земли М2/М1 = Мю/Мз - ?

Обобщенный третий закон Кеплера справедлив для двух независимых систем, состоящих из центральных массивных тел и спутников, обращающихся вокруг них, и имеет вид:

Т1² (М1 +m1)/Т2² (М2+ m2) = а1³/а2³, здесь Т1 и Т2 – периоды обращения спутников вокруг центрального массивного тела; М1 и М2 - массы центральных массивных небесных тел; m1 и m2 – массы спутников, обращающихся вокруг центральных тел; а1 и а2 – большие полуоси орбит спутников.

Так как обычно массы спутников малы в сравнении с массами центральных тел, вокруг которых спутники обращаются, то при расчете отношения масс центральных тел, массами спутников можно пренебречь. В этом случае из обобщенного третьего закона Кеплера следует, что М2/М1 = Т1²* а2³/Т2²*а1³.

Т.е. Мю/Мз = 27,3² * (4,2*10^5)³/ 1,77 ² * (3,84*10^5)³ ≈ 311,3.

А теперь найдем отношение масс приняв радиусы орбит: а1 = 384 км; а2 = 420 км.

Тогда Мю/Мз = 27,3² * 420³/ 1,77 ² * 384³ ≈ 311,3

Как видим, ответ такой же, как и в первом случае. Такое возможно потому, что радиусы орбит разнесены в формуле в числитель и знаменатель, а так же потому, что заданные в условии радиусы орбит  отличаются от реальных в одно и тоже число раз. Но, в общем случае, не рекомендуется применять при решении неверные те или иные параметры.

Answer 2

Для решения первой задачи, используем законы Кеплера и формулу для периода обращения искусственного спутника вокруг Земли:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}} \]

где: - \( T \) - период обращения, - \( \pi \) - число Пи (приблизительно 3.14159), - \( r \) - радиус орбиты спутника, - \( G \) - гравитационная постоянная (\(6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \, \text{с}^2\)), - \( M \) - масса Земли.

В данном случае \( r = 6400 \, \text{км} + 1000 \, \text{км} = 7400 \, \text{км} \) и \( M = 6 \times 10^{24} \, \text{кг}\).

Подставим значения в формулу:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{(7400 \times 10^3)^3}{6.674 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}} \]

Расчитаем значение:

\[ T \approx 5670 \, \text{секунд} \]

Теперь преобразуем это значение в минуты:

\[ T \approx \frac{5670}{60} \approx 94,5 \, \text{минут} \]

Таким образом, период обращения искусственного спутника на высоте 1000 км составляет примерно 94,5 минуты.

Теперь перейдем ко второй задаче. Используем закон Кеплера для третьего закона:

\[ T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}r^3 \]

где: - \( T \) - период обращения, - \( r \) - расстояние от центра Юпитера до ио, - \( G \) - гравитационная постоянная (\(6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \, \text{с}^2\)), - \( M \) - масса Юпитера.

Мы знаем, что \( T = 42,5 \, \text{часа} \) и \( r = 420 \, \text{км} \).

Преобразуем период в секунды:

\[ T = 42,5 \times 3600 \, \text{секунд} \]

Теперь подставим значения в формулу:

\[ (42,5 \times 3600)^2 = \frac{4\pi^2}{6.674 \times 10^{-11}} \times (420 \times 10^3)^3 \times M \]

Решив это уравнение относительно \( M \), мы получим массу Юпитера.

\[ M \approx \frac{(42,5 \times 3600)^2}{\frac{4\pi^2}{6.674 \times 10^{-11}} \times (420 \times 10^3)^3} \]

Расчитаем значение:

\[ M \approx 1.9 \times 10^{27} \, \text{кг} \]

Таким образом, масса Юпитера примерно равна \(1.9 \times 10^{27} \, \text{кг}\).