Question

Крупнейший спутник Урана Титания обращается вокруг него на расстоянии примерно 436000 км с периодом 8,7 суток. Пренебрегая массой Титании по сравнению с массой Урана, оцените, во сколько раз масса Урана больше массы Земли. Масса Титании примерно в 1700 раз меньше массы Земли, а диаметр равен примерно 1600 км. Оцените ускорение свободного падения, первую и вторую космические скорости для поверхности Титании.

Answer 1

Ответ:   1) Уран массивнее Земли в 14,368 раза.

2)  Ускорение свободного падения на Титании ≈ 0,366 м/с²

Первая космическая скорость для Титании ≈ 541,1 м/с

Вторая космическая скорость для Титании ≈ 765,25 м/с

Объяснение:   1) Дано:

Период обращения Луны Т1 = 27,3 суток

Радиус орбиты Луны а1 = 384 400 = 3,844*10^5 км

Период обращения Титании   T2 =8,7 суток

Радиус орбиты Титании  а2 = 436000 км = 4,36*10^5 км

Масса Земли      - Мз = М1

Масса Урана      - Му = М2

Найти во сколько раз масса Урана больше массы Земли   М2/М1 =

= Му/Мз - ?

Обобщенный третий закон Кеплера справедлив для двух независимых систем, состоящих из центральных массивных тел и спутников, обращающихся вокруг них, и имеет вид:

Т1² (М1 +m1)/Т2² (М2+ m2) = а1³/а2³, здесь Т1 и Т2 – периоды обращения спутников вокруг центрального массивного тела; М1 и М2 - массы центральных массивных небесных тел; m1 и m2 – массы спутников, обращающихся вокруг центральных тел; а1 и а2 – большие полуоси орбит спутников.

Так как обычно массы спутников малы в сравнении с массами центральных тел, вокруг которых спутники обращаются, то при расчете отношения масс центральных тел, массами спутников можно пренебречь. В этом случае из обобщенного третьего закона Кеплера следует, что М2/М1 = Му/Мз = Т1²* а2³/Т2²*а1³ = 27,3² * (4,36*10^5)³/ 8,7 ² * (3,844*10^5) ³ ≈ 14,368.

Уран массивнее Земли в 14,368 раза.

2) Дано:

Масса   Титании  Мт = 1

Радиус Титании   Rт = 800 км = 8*10^5 м

Масса Земли   Мз = 1700 Мт

Радиус Земли  Rз = 6,371*10^6 м

Ускорение свободного падения на поверхности Земли g = 9,81 м/с²

Найти ускорение свободного падения на Титании  gт - ?

Найти первую и вторую космические скорости для Титании  U1 - ?   U2 - ?

В общем случае ускорение свободного падения на поверхности планеты определяется выражением: g = GM/R²,  здесь G – гравитационная постоянная;  M – масса планеты;  R – радиус планеты.

Ускорение свободного падения на Титании:  gт = G*Мт/Rт².

Ускорение свободного падения на Земле:      gз = G*Мз/Rз².

Разделим gз на gт, имеем:  gз/gт = (G*Мз/Rз²)/(G*Мт/Rт²) =

= (Мз/Rз²)/(Мт/Rт²).

С учетом принятых обозначений и принятых величин, последнее выражение примет вид:   gз/gт = (Мз/Rз²)/(Мт/Rт²) =

= (1700 Мт/Мт)/( 6,371*10^6/8*10^5)² = 1700/63,421 ≈ 26,8.  

Т.е земное  gз больше gт в ≈ 26,8 раза.  

Тогда gт = gз/26,8 = 9,81/26,8 ≈ 0,366 м/с²

Первую космическая скорость у планеты в общем случае можно найти по формуле:    U1 = √(g*R),  

здесь g – ускорение свободного падения у поверхности планеты;

R – радиус планеты.  

В нашем случае U1 = √(0,366*8*10^5) ≈ 541,1 м/с.  

Вторая космическая скорость в √2 раза больше первой космической скорости. Значит, U2 = U1*√2 = 541,1*1,41421 ≈ 765,25 м/с

Answer 2

Для оценки массы Урана по сравнению с массой Земли, используем законы Кеплера и гравитационный закон Ньютона. Период обращения Титании вокруг Урана (T) и расстояние между ними (r) известны:

\[ T = 8.7 \, \text{суток} \, = 8.7 \times 24 \times 3600 \, \text{секунд}, \] \[ r = 436000 \, \text{км} \, = 436000 \times 1000 \, \text{метров}. \]

Используем третий закон Кеплера, который связывает период обращения и расстояние между телами:

\[ T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}r^3, \]

где \( G \) - гравитационная постоянная (приблизительно \( 6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \, \text{с}^2 \)), а \( M \) - масса центрального тела (Урана).

Решим уравнение относительно массы Урана:

\[ M = \frac{4\pi^2}{G} \frac{r^3}{T^2}. \]

Подставим известные значения и решим:

\[ M = \frac{4\pi^2}{6.674 \times 10^{-11}} \frac{(436000 \times 1000)^3}{(8.7 \times 24 \times 3600)^2} \, \text{кг}. \]

Вычислим результат.

Теперь, чтобы оценить, во сколько раз масса Урана больше массы Земли (\( M_{\text{Земли}} \)), поделим \( M \) на массу Земли:

\[ \text{Ответ} = \frac{M}{M_{\text{Земли}}} \]

где \( M_{\text{Земли}} \approx 5.972 \times 10^{24} \, \text{кг} \).

Теперь оценим ускорение свободного падения (\( g \)) на поверхности Титании, используя закон всемирного тяготения:

\[ g = \frac{GM_{\text{Титания}}}{r^2}, \]

где \( M_{\text{Титания}} \) - масса Титании, \( r \) - радиус Титании.

Также, первая космическая скорость (\( v_1 \)) на поверхности Титании задается формулой:

\[ v_1 = \sqrt{\frac{2GM_{\text{Титания}}}{r}}, \]

а вторая космическая скорость (\( v_2 \)):

\[ v_2 = \sqrt{2} \times v_1. \]

Теперь подставим известные значения для массы и радиуса Титании и рассчитаем ускорение свободного падения, первую и вторую космические скорости.