Question

Оцените высоту гелиостационарной орбиты. Переод вращения Солнца на экваторе принять равным 30 суткам, радиус Солнца 7*10^5 км.

Answer 1

Ответ:  Высота гелиостационарной орбиты =  27566741,9 км.

Объяснение:  

Дано: R - радиус Солнца = 7*10^5 км

          G – гравитационная постоянная = 6,67408...*10^-11 м^3*с^-2*кг^-1

Сразу отмечу, что для решения задачи необходимо знать массу Солнца. Поэтому будем считать, что масса так же задана в условии задачи. Масса Солнца М = 1,9885*10^30 кг.  

Найти высоту гелиостационарной орбиты  h - ?

Гелиостационарная орбита, это такая орбита, находясь на которой спутник «висит неподвижно» над одной и той же точкой экватора Солнца, совершая полный оборот вокруг Солнца за время, равное периоду вращения Солнца, т.е. совершая полный оборот вокруг Солнца за 30 суток. Скорость (V) с которой спутник движется по орбите вокруг Солнца, равна частному от деления длины орбиты на время полного оборота. Т.е. V = 2π(R+h)/30суток.  В сутках 24*60*60 =86400 секунд. Тогда  V = 2π(R+h)/86400*30.   При движении спутника по круговой орбите на высоте h на спутник действует центростремительное ускорение, которое, с одной стороны равно ускорению свободного падения на высоте h и равно G*M/(R+h)^2, с другой стороны это центростремительное ускорение равно  V^2/(R+h).  Таким образом, можно записать равенство V^2/(R+h) = G*M/(R+h)^2.  Подставим в это уравнение значение скорости, выведенное выше. Имеем 4π^2(R+h)^2/{(86400*30)^2*(R+h)} = G*M/(R+h)^2.  После сокращения имеем 4π^2(R+h)/(86400*30)^2 = G*M/(R+h)^2.  Из этого уравнения вытекает соотношение (R+h)^3 = G*M*(86400*30)^2/4π^2. По этой формуле мы найдем куб расстояния от центра Солнца до гелиостационарной орбиты. (R+h)^3 = 6,67408...*10^-11*1,9885*10^30*(86400*30)^2/4*3,14^2 = 22585372673333211776828205671602.  Извлечем кубический корень из этого числа, получим 28266741917,2 м = 28266741,9 км. Вычтем из этой величины радиус Солнца  28266741,9 – 700000 = 27566741,9 км. Это и будет искомая высота h.

Answer 2

Для определения высоты гелиостационарной орбиты мы можем использовать следующую формулу, которая связывает период орбиты с радиусом этой орбиты и массой центрального тела (в данном случае, Солнца):

$T^2 = \frac{4\pi^2R^3}{GM}$

Где:

• $T$ - период орбиты (в данном случае, период вращения Солнца на экваторе, который равен 30 суткам, или примерно 2592000 секунд).
• $R$ - радиус орбиты (в данном случае, нам нужно найти эту величину).
• $G$ - гравитационная постоянная ($6.67430 × 10^{-11} \, м^3/(кг \cdot с^2)$).
• $M$ - масса Солнца ($1.989 × 10^{30} \, кг$).

Мы хотим найти $R$, поэтому перепишем формулу:

$R^3 = \frac{T^2 \cdot GM}{4\pi^2}$

Теперь подставим известные значения:

$R^3 = \frac{(2592000 \, сек)^2 \cdot (6.67430 × 10^{-11} \, м^3/(кг \cdot с^2)) \cdot (1.989 × 10^{30} \, кг)}{4\pi^2}$

Вычислим $R^3$:

$R^3 \approx 1.489 \times 10^{26} \, м^3$

Теперь найдем $R$ взяв кубический корень:

$R \approx \sqrt[3]{1.489 \times 10^{26} \, м^3} \approx 4.215 \times 10^7 \, м$

Таким образом, высота гелиостационарной орбиты составляет примерно $4.215 \times 10^7 \, м$ или 42 150 километров (км).