Question

1)Определите расстояние до Луны в перигелии, если ее угловой диаметр равен 33'', а линейный диаметр - 3400 км. 2)Большая полуось орбиты астероида Дон Кихот равна 4,2 а.е. Определите , как часто он бывает в противостоянии.

Answer 1

Ответ: 1) Расстояние до Луны ≈ 354192 км

2) Синодический период обращения астероида (время между противостояниями) ≈ 1,133 года

Объяснение: 1)  Дано:  D - линейный диаметр Луны  = 3400 км;

                                       α''- угловой диаметр Луны = 33' = 33' * 60'' = 1980''

                                      Найти расстояние до Луны  S - ?

В начале небольшое уточнение. Угловой диаметр Луны равен не 33 секунды, а 33 угловые минуты.  Для малых углов можно применить формулу  S = D*206265/α'' = 3400*206265/1980 ≈ 354192 км

2)  Дано: Аа - большая полуось орбиты астероида = 4,2 а.е.

               Аз -  большая полуось орбиты Земли = 1 а.е.

               Тз - период обращения Земли вокруг Солнца (сидерический период обращения) = 1 год

              Та - период обращения астероида (сидерический период обращения) вокруг Солнца неизвестен, но его надо найти для решения заданной задачи.

Са.син. -  синодический период обращения астероида (надо найти) - ?

В начале необходимо найти сидерический период обращения астероида вокруг Солнца. В этом нам поможет третий закон Кеплера. Аа³/Аз³ = Та²/Тз². Отсюда Та² = Аа³*Тз²/Аз³ = 4,2³*1²/1³ = 4,2³. Тогда Та = √4,2³ ≈ 8,6 года.

Поскольку большая полуось орбиты астероида больше 1 а.е., то относительно Земли этот астероид является внешней "планетой" и для него выполняется соотношение 1/Са.син = 1/Тз - 1/Та.. Отсюда  Са.син = Тз*Та/(Та - Тз) = 1*8,6/(8.6 - 1) = 8,6/7,6 ≈ 1,133 года

Answer 2

1. Для определения расстояния до Луны в перигелии, мы можем использовать угловой и линейный диаметры. Первым делом, давайте переведем угловой диаметр из угловых секунд в радианы. Угловая секунда - это 1/3600 градуса, а радиан равен приближенно 0,000290888 градуса (так как 360 градусов равны 2π радианам).

Угловой диаметр (в радианах) = 33'' * 0.000290888 радиан ≈ 0.0096 радиан.

Теперь мы можем использовать угловой диаметр и линейный диаметр, чтобы определить расстояние до Луны в перигелии, используя формулу:

Расстояние = Линейный диаметр / (2 * тангенс углового диаметра / 2).

Расстояние = 3400 км / (2 * тангенс(0.0096 / 2)) ≈ 3400 км / (2 * тангенс(0.0048)) ≈ 3400 км / (2 * 0.00479867) ≈ 3400 км / 0.00959734 ≈ 354172.65 км.

Таким образом, расстояние до Луны в перигелии составляет приблизительно 354172.65 километра.

2. Для определения частоты противостояний астероида Дон Кихот на его орбите, мы можем использовать закон Кеплера для периодических движений. Закон Кеплера гласит, что кубическая степень большой полуоси (а) орбиты астероида равна квадрату периода обращения (T) вокруг Солнца. Таким образом:

а^3 = T^2.

Мы знаем, что большая полуось (а) равна 4,2 астрономическим единицам (а.е.), и мы хотим найти период обращения (T) в противостоянии, когда астероид находится на самом близком расстоянии от Солнца. Для этого нам нужно найти T.

Теперь давайте рассчитаем T:

4.2^3 = T^2, 74.088 = T^2, T ≈ √74.088, T ≈ 8.61 лет.

Теперь у нас есть период обращения астероида вокруг Солнца, который составляет приблизительно 8.61 лет. Чтобы определить, как часто он бывает в противостоянии, мы можем просто поделить 8.61 лет на 2 (потому что противостояние происходит, когда астероид и Солнце находятся на одной линии):

Частота противостояний = 8.61 лет / 2 ≈ 4.305 лет.

Таким образом, астероид Дон Кихот бывает в противостоянии приблизительно каждые 4.305 лет.