Question

Как должна измениться масса центрального тела, чтобы у его спутника среднее расстояние увеличилось в К раз, а период обращения в N раз?​

Answer 1

Ответ:   Масса центрального тела должна увеличится в K³/N² раз.

Объяснение:   Дано:

Радиус первой орбиты спутника  - R1

Радиус второй орбиты спутника R2 = К*R1

Первый период обращения спутника  - Т1

Второй период обращения спутника Т2 = N*Т1

Найти во сколько раз должна измениться масса центрального тела  М2/М1 - ?

В общем случае период обращения спутника связан с радиусом орбиты и массой центрального тела соотношением:

                                   Т² = 4π²R³/GM,

здесь R - радиус орбиты спутника;

G - гравитационная постоянная;

M - масса центрального тела.

Из этого соотношение             М =  4π²R³/GТ².

Для первой орбиты М1 = 4π²R1³/GТ1².

Для второй орбиты  М2 = 4π²R2³/GТ2².

Отношение масс: М2/М1 = {4π²R2³/GТ2²}/(4π²R1³/GТ1²). Подставим в это выражение принятые обозначения:

М2/М1 = {4π²(K*R1)³/G(N*Т1)²}/(4π²R1³/GТ1²) =

= (4π²*K³*R1³/G*N²*Т1²)/(4π²R1³/GТ1²).         После сокращения подобных членов имеем:    М2/М1 = K³/N².

Таким образом, масса центрального тела должна стать больше в K³/N² раз.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать законы Кеплера и закон всемирного тяготения Ньютона.

Закон Кеплера описывает зависимость между средним расстоянием (а) от центрального тела и периодом обращения (T) спутника:

1. Закон Кеплера: a^3 / T^2 = константа.

Если мы хотим увеличить среднее расстояние (а) в K раз и период обращения (T) в N раз, то мы можем записать соотношение:

(a_new)^3 / (T_new)^2 = (K * a)^3 / (N * T)^2.

Теперь давайте выразим a_new и T_new:

a_new = K * a T_new = N * T

Теперь мы видим, что среднее расстояние спутника увеличится в K раз, а период обращения увеличится в N раз. Мы не меняем массу центрального тела в этом уравнении, так как масса центрального тела не влияет на законы Кеплера.

Чтобы ответить на вопрос о том, как должна измениться масса центрального тела, чтобы достичь этих изменений в среднем расстоянии и периоде обращения, нам нужно использовать закон всемирного тяготения Ньютона:

2. Закон всемирного тяготения Ньютона: F = G * (m1 * m2) / r^2,

где F - сила гравитации, G - гравитационная постоянная, m1 и m2 - массы двух тел, r - расстояние между ними.

Если мы хотим изменить среднее расстояние (а) спутника, то это означает, что мы меняем расстояние (r) между центральным телом и спутником. Мы хотим, чтобы это расстояние увеличилось в K раз. По закону всемирного тяготения, если мы хотим увеличить расстояние в K раз, то сила гравитации уменьшится в K^2 раза.

Следовательно, чтобы достичь желаемых изменений в среднем расстоянии и периоде обращения спутника, масса центрального тела должна уменьшиться в K^2 раза.