Question

Визнач відстань до системи подвійної зорі за такими даними: маси зір дорівнюють 5 і 3 масам Сонця, період їх обертання — 100 років, а велику піввісь ми бачимо під кутом 0,05".

Answer 1

Ответ:  Расстояние до двойной звезды ≈ 2124482 пк ≈

≈ 7066357 световых лет.

Объяснение:   Дано:

Масса Солнца  Мс = 1,9885*10^30кг

Масса первой звезды  М1 = 5Мс = 5*1,9885*10^30кг

Масса второй звезды  М2 = 3Мс = 3*1,9885*10^30кг

Период обращения двойной звезды Т = 100 лет =

= 100*365,25*24*60*60 = 3,15576*10^9 секунд.

Гравитационная постоянная  G = 6,6743*10^-11 м^3,с^-2, кг^-1

Большая полуось орбиты видна под углом α = 0,05"

Найти расстояние до двойной звезды  S - ?

В общем случае, для системы двойной звезды третий закон Кеплера связывает период обращения звезд (Т), большую полуось орбиты (А) и массы звезд соотношением:

                                Т = 2π√{А³/G(М1 + М2)}.

Из этого соотношения можно найти линейный размер большой полуоси орбиты в метрах:   А = ∛{Т²*G(M1+M2)/4π²}.

С некоторого расстояния (S) этот линейный размер виден под углом 0,05", следовательно,  расстояние до двойной звезды:

S = 206265*А/α = (206265/0,05)*∛{Т²*G(M1+M2)/4π²} =

= (206265/0,05)∛{(3,15576*10^9)²*6,6743*10^-11*(5*1,9885*10^30+

+ 3*1,9885*10^30)}   ≈ 6,555565...*10^22 м ≈ 2124482 пк ≈

≈ 7066357 световых лет.

Answer 2

Для визначення відстані до системи подвійних зір, ми можемо використовувати третій закон Кеплера, який пов'язує період обертання (T) планети (або в даному випадку, подвійних зір) з великою піввіссю орбіти (a) та сумою мас центрального тіла і обертаючого тіла (в даному випадку, двох зір):

$T^2 = \frac{4\pi^2 a^3}{G(M_1 + M_2)}$

де:

• $T$ - період обертання (в даному випадку, 100 років, але переведемо його в секунди),
• $a$ - велика піввісь орбіти (потрібно перевести кут в радіани, щоб отримати довжину),
• $G$ - гравітаційна константа ($6.67430 \times 10^{-11}$ м^3/(кг·с^2)),
• $M_1$ і $M_2$ - маси зір (5 і 3 маси Сонця).

Давайте розв'яжемо це рівняння:

1. Переведемо 100 років в секунди. Один рік має близько $3.1536 \times 10^7$ секунд, тому:

$T = 100 \text{ років} \times 3.1536 \times 10^7 \text{ секунд/рік}$

2. Переведемо кут 0.05" в радіани. Для цього використовуємо формулу:

$1 \text{ радіан} = \frac{180}{\pi} \text{ градусів}$ $1 \text{ градус} = 3600 \text{"}$ $1 \text{"} = \frac{1}{3600} \text{ градуса}$

Отже,

$0.05" = 0.05 \times \frac{1}{3600} \times \frac{1}{180/\pi} \text{ радіан} = 7.272 \times 10^{-11} \text{ радіан}$

3. Тепер ми можемо підставити всі ці значення у рівняння:

$(3.1536 \times 10^7 \text{ секунд})^2 = \frac{4\pi^2 a^3}{6.67430 \times 10^{-11} \text{ м}^3/\text{кг}\cdot\text{с}^2}(5M_\odot + 3M_\odot)$

4. Розрахунок великої піввісі орбіти (a):

a^3 &= \frac{(3.1536 \times 10^7)^2 \cdot 6.67430 \times 10^{-11} \text{ м}^3/\text{кг}\cdot\text{с}^2}{4\pi^2 (5M_\odot + 3M_\odot)}\\ a &= \sqrt[3]{\frac{(3.1536 \times 10^7)^2 \cdot 6.67430 \times 10^{-11} \text{ м}^3/\text{кг}\cdot\text{с}^2}{4\pi^2 (5M_\odot + 3M_\odot)}} \end{align*}\] 5. Тепер, коли ми знаємо a, ми можемо визначити відстань до системи подвійних зір: \[D = \frac{a}{\sin(7.272 \times 10^{-11} \text{ радіан})}\] Підставимо значення a і розрахунок радіана, щоб знайти D.