Question

Вычислите массу двойной звезды Толиман (a Центавра (Кентавра)) имеющей параллакс 0,742², период обращения 79 лет, а большая полуось орбиты видна с Земли под углом 14,2².

Answer 1

Дано:

T = 79 лет

a = 14,2"

p = 0,742"

---------------------------

Найти:

m₁ + m₂ - ?

Решение:

1) Воспользуемся по третьему закону Кеплера, что-бы найти сумму массы звезд по такой формуле:

m₁ + m₂ = A³/T²

2) Но нам не известно большую полуось системы А, мы сможем найти его по такой формуле:

A = a/p = 14,2"/0,742" ≈ 19,14 а.е.

3) Теперь мы сможем найти сумму массы звезд по формуле под пунктом (1):

m₁ + m₂ = 19,14³ а.е./79² лет = 7011,739944‬ а.е./6241 лет ≈ 1,1234 ≈ 1,12

Ответ: общая масса Толимана равна 1,12 массы Солнца.

Answer 2

Для вычисления массы двойной звезды мы можем использовать законы Кеплера и закон всемирного тяготения Ньютона. Для начала нам нужно найти массу общего центра масс двойной системы.

Дано:

• Параллакс (π) = 0.742² (в секундах дуги)
• Период обращения (T) = 79 лет = 79 * 365.25 дней (среднее количество дней в году)
• Большая полуось орбиты (a) видна с Земли под углом (θ) = 14.2² (в секундах дуги)

Сначала найдем расстояние до звезды (d) используя параллакс:

d = 1 / π

Затем мы можем использовать закон Кеплера для определения массы общего центра масс системы:

a³ = G * (M1 + M2) * T² / (4π²),

где:

• a - большая полуось орбиты
• G - гравитационная постоянная (6.67430 * 10^-11 м³ кг^-1 с^-2)
• M1 и M2 - массы двух звезд
• T - период обращения

Выразим сумму масс M1 + M2:

M1 + M2 = a³ * (4π²) / (G * T²)

Теперь мы можем найти отношение масс двух звезд:

M2 / M1 = (a1 / a2)³,

где a1 и a2 - большие полуоси орбит каждой из звезд.

Учитывая, что угол θ равен угловому смещению относительно плоскости орбиты, мы можем выразить a1 и a2:

a1 = a * cos(θ/2), a2 = a * sin(θ/2).

Подставим a1 и a2 в выражение для отношения масс:

M2 / M1 = (a * sin(θ/2) / (a * cos(θ/2)))³ M2 / M1 = tan(θ/2)³

Теперь мы можем выразить M1 и M2 через M1 + M2 и M2 / M1:

M1 = (M1 + M2) / (1 + M2 / M1), M2 = M2 / M1 * M1.

Подставляем значения и рассчитываем:

1. Вычислим расстояние до звезды (d):

d = 1 / π = 1 / 0.742² = 1.800833...

2. Вычислим сумму масс M1 + M2:

M1 + M2 = (a³ * 4π²) / (G * T²) = (a³ * 4 * π²) / (6.67430 * 10^-11 * (79 * 365.25)²)

3. Вычислим отношение масс M2 / M1:

M2 / M1 = tan(θ/2)³ = tan(14.2² / 2)³

4. Вычислим массы M1 и M2:

M1 = (M1 + M2) / (1 + M2 / M1), M2 = M2 / M1 * M1.

Пожалуйста, предоставьте значения большей полуоси орбиты (a) в астрономических единицах (АЕ) для завершения вычислений.